Формула Сильвестра, матричная теорема Сильвестера (названа именем Дж. Дж. Сильвестера) или интерполяция Лагранжа — Сильвестера выражает аналитическую функцию f ( A ) f(A) матрицы A как многочлен от A в терминах собственных значений и векторов матрицы A. Теорема гласит, что:
f ( A ) = ∑ i = 1 k f ( λ i ) A i {displaystyle f(A)=sum _{i=1}^{k}f(lambda _{i})~A_{i}~} ,где λ i lambda _{i} — собственные значения матрицы A, а матрицы
A i ≡ ∏ j = 1 j ≠ i k 1 λ i − λ j ( A − λ j E ) {displaystyle A_{i}equiv prod _{j=1 atop j eq i}^{k}{frac {1}{lambda _{i}-lambda _{j}}}left(A-lambda _{j}E ight)}являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы A, которые являются матрицами (проекции) многочленов Лагранжа матрицы A.
Условия
Формула Сильвестра применима для любой диагонализируемой матрицы A с k различными собственными значениями λ 1 , … , λ k {displaystyle lambda _{1},dots ,lambda _{k}} и любой функции f, определённой на некотором подмножестве комплексных чисел, такой что f ( A ) f(A) вполне определена. Последнее условие означает, что любое собственное значение λ i lambda _{i} находится в области определения f , причем если его кратность m i > 1 {displaystyle m_{i}>1} , то оно находится внутри области определения, а сама функция f дифференцируема ( m i − 1 {displaystyle m_{i}-1} ) раз в точке λ i lambda _{i} .
Пример
Рассмотрим матрицу порядка 2:
A = [ 1 3 4 2 ] {displaystyle A={egin{bmatrix}1&34&2end{bmatrix}}} .Эта матрица имеет два собственных значения, 5 и −2. Её коварианты Фробениуса есть:
A 1 = c 1 r 1 = [ 3 4 ] [ 1 7 1 7 ] = [ 3 7 3 7 4 7 4 7 ] = A + 2 E 5 − ( − 2 ) A 2 = c 2 r 2 = [ 1 7 − 1 7 ] [ 4 − 3 ] = [ 4 7 − 3 7 − 4 7 3 7 ] = A − 5 E − 2 − 5 {displaystyle {egin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={egin{bmatrix}34end{bmatrix}}{egin{bmatrix}{frac {1}{7}}&{frac {1}{7}}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}{frac {3}{7}}&{frac {3}{7}}{frac {4}{7}}&{frac {4}{7}}end{bmatrix}}={frac {A+2E}{5-(-2)}}A_{2}&=c_{2}r_{2}={egin{bmatrix}{frac {1}{7}}-{frac {1}{7}}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}4&-3end{bmatrix}}={egin{bmatrix}{frac {4}{7}}&-{frac {3}{7}}-{frac {4}{7}}&{frac {3}{7}}end{bmatrix}}={frac {A-5E}{-2-5}}end{aligned}}} .Формула Сильвестра тогда сводится к:
f ( A ) = f ( 5 ) A 1 + f ( − 2 ) A 2 {displaystyle f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2},} .Например, если f определяется выражением f ( x ) = x − 1 {displaystyle f(x)=x^{-1}} , то формула Сильвестра выражает обратную матрицу f ( A ) = A − 1 {displaystyle f(A)=A^{-1}} как:
1 5 [ 3 7 3 7 4 7 4 7 ] − 1 2 [ 4 7 − 3 7 − 4 7 3 7 ] = [ − 0 , 2 0 , 3 0 , 4 − 0 , 1 ] {displaystyle {frac {1}{5}}{egin{bmatrix}{frac {3}{7}}&{frac {3}{7}}{frac {4}{7}}&{frac {4}{7}}end{bmatrix}}-{frac {1}{2}}{egin{bmatrix}{frac {4}{7}}&-{frac {3}{7}}-{frac {4}{7}}&{frac {3}{7}}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}-0,2&0,3 ,4&-0,1end{bmatrix}}} .Обобщение
Формула Сильвестра верна только для диагонализируемых матриц. Расширение, принадлежащее Артуру Буххайму и основанное на многочленах эрмитовой интерполяции, покрывает общий случай
f ( A ) = ∑ i = 1 s [ ∑ j = 0 n i − 1 1 j ! ϕ i ( j ) ( λ i ) ( A − λ i E ) j ∏ j = 1 , j ≠ i s ( A − λ j E ) n j ] {displaystyle f(A)=sum _{i=1}^{s}left[sum _{j=0}^{n_{i}-1}{frac {1}{j!}}phi _{i}^{(j)}(lambda _{i})left(A-lambda _{i}E ight)^{j}prod _{j=1,j eq i}^{s}left(A-lambda _{j}E ight)^{n_{j}} ight]} ,где ϕ i ( t ) := f ( t ) / ∏ j ≠ i ( t − λ j ) n j {displaystyle phi _{i}(t):=f(t)/prod _{j eq i}left(t-lambda _{j} ight)^{n_{j}}} .
Краткую форму позже предложил Ганс Швердтфегер:
f ( A ) = ∑ i = 1 s A i ∑ j = 0 n i − 1 f ( j ) ( λ i ) j ! ( A − λ i E ) j {displaystyle f(A)=sum _{i=1}^{s}A_{i}sum _{j=0}^{n_{i}-1}{frac {f^{(j)}(lambda _{i})}{j!}}(A-lambda _{i}E)^{j}} ,где A i A_{i} являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы A.