Биморфизм



Биморфизм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа, теоретико-категорное обобщение понятия биективного отображения.

Понятие биморфизма самодвойственно. Композиция биморфизмов является биморфизмом, таким образом, для данной категории C {mathcal {C}} определена подкатегория B i m C ⊆ C {displaystyle mathrm {Bim} _{mathcal {C}}subseteq {mathcal {C}}} , состоящая из тех же объектов, и содержащая лишь морфизмы, являющиеся биморфизмами.

Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм есть изоморфизм. Например, вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел σ : Z → Q {displaystyle sigma :mathbb {Z} o mathbb {Q} } в категории ассоциативных колец является биморфизмом, при этом необратимым, то есть, изоморфизмом не являющимся. Если биморфизм σ sigma представлен в виде σ = τ ∘ υ {displaystyle sigma = au circ upsilon } , то τ au — мономорфизм, а υ upsilon — эпиморфизм.

Сбалансированная категория — категория, в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, таковы, например, категория множеств и категория групп. Категория колец, категория топологических пространств, категория абелевых групп без кручения — несбалансированные.