Блочно-ориентированные модели — это представление нелинейных систем в виде различных комбинаций инерционных звеньев и нелинейных безынерционных математических элементов. Такое представление моделей позволяет связать в явном виде входные и выходные переменные объектов с различной структурой и степенью нелинейности. К таким системам относятся системы типа Гаммерштейна, Винера, Винера-Гаммерштейна, фильтра Заде, обобщенной модели Винера и Sm-системы.
Данные модели применяются при моделировании сложных экономических объектов, в области энергетики, нефтегазовой промышленности и на других сложных технических объектах. Объектом исследования является нелинейный управляемый одномерный динамический объект с измеряемыми в дискретные моменты времени входом u(t) и выходом у(t).
При представлении нелинейных систем блочно-ориентированными моделями основные результаты в сфере структурной идентификации получены при идентификации дискретными и непрерывными моделями на определенных множествах блочно-ориентированных моделей, состоящих из разных модификаций моделей Гаммерштейна и Винера.
Свойства нелинейности и динамичности таких объектов в ряде случаев невозможно четко разделить. Для упрощения задачи исследуемый нелинейный динамический объект представляют в виде некоторой комбинации линейных динамических блоков и безынерционных нелинейных блоков .
Классы моделей и входных сигналов
Определение структуры модели осуществляется из следующего класса непрерывных блочно-ориентированных моделей: L = { s i ∣ i = 1 , 2 , … , 9 } {displaystyle L={s_{i}mid i=1,2,dots ,9}} (1) где s 1 {displaystyle s_{1}} — нелинейная статическая модель, s 2 {displaystyle s_{2}} и s 3 {displaystyle s_{3}} — простая и обобщенная модели Гаммерштейна, s 4 {displaystyle s_{4}} и s 5 {displaystyle s_{5}} — простая и обобщенная модели Винера, s 6 {displaystyle s_{6}} — простая каскадная модель Винера-Гаммерштейна, s 7 {displaystyle s_{7}} — расширенная модель Винера, s 8 {displaystyle s_{8}} и s 9 {displaystyle s_{9}} — простая и обобщенная каскадные модели Винера-Гаммерштейна. Обозначим u(t) и y(t) — входная и выходная переменные, соответственно. Нелинейные статистические элементы, входящие в состав моделей, описываются полиномиальными функциями второй степени:
f 1 [ x [ ( t ) ] ] = c 0 + c 1 x ( t ) + c 2 x 2 ( t ) {displaystyle f_{1}[x[(t)]]=c_{0}+c_{1}x(t)+c_{2}x^{2}(t)}
f 2 [ x [ ( t ) ] ] = d 0 + d 1 x ( t ) + d 2 x 2 ( t ) {displaystyle f_{2}[x[(t)]]=d_{0}+d_{1}x(t)+d_{2}x^{2}(t)}
c i {displaystyle c_{i}} , d i ( i = 0 , 1 , 2 ) {displaystyle d_{i}(i=0,1,2)} — постоянные коэффициенты, W ( p ) {displaystyle W(p)} , W i ( p ) ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) {displaystyle W_{i}(p)(i=1,2,3,4)} — передаточные функции линейных динамических систем с оперативной форме, то есть р означает инерцию дифференцирования: p ≡ d d t {displaystyle pequiv {frac {d}{dt}}} .
Подразумевается, что линейные динамические звенья, входящие в состав класса блочно-ориентированных моделей, устойчивы, то есть корни их характеристических уравнений расположены в левой полуплоскости плоскости корней.
Основные модели множества L и их уравнения
Простая модель ГаммерштейнаПростая модель Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая выходного периодического сигнала не зависит от изменения частоты входного воздействия.
y ( t ) = c 0 W ( 0 ) + c 1 W ( p ) u ( t ) + c 2 W ( p ) u 2 ( t ) {displaystyle y(t)=c_{0}W(0)+c_{1}W(p)u(t)+c_{2}W(p)u^{2}(t)}
Обобщенная модель ГаммерштейнаОбобщенная модель Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая выходного сигнала не зависит от изменения частоты входного воздействия. Ее различие от простой модели Гаммерштейна возможно по структурным особенностям модели.
y ( t ) = c 0 + W 1 ( p ) u ( t ) + W 2 ( p ) u 2 ( t ) {displaystyle y(t)=c_{0}+W_{1}(p)u(t)+W_{2}(p)u^{2}(t)}
Простая модель ВинераПростая модель Винера. Применяется, когда постоянная составляющая выходного периодического сигнала зависит от изменения частоты входного воздействия. Отношение амплитуды первой гармоники к амплитуде второй гармоники и разность между постоянной составляющей и амплитудой второй гармоники не зависят от частоты.
y ( t ) = c 0 + c 1 W ( p ) u ( t ) + c 2 [ W ( p ) u ( t ) ] 2 {displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W(p)u(t)+c_{2}[W(p)u(t)]^{2}}
Обобщенная модель ВинераОбобщенная модель Винера. Применяется, когда разность между постоянной составляющей и амплитудой второй гармоники не зависит от частоты, а отношение квадрата амплитуды первой гармоники к амплитуде второй гармоники зависит от частоты.
y ( t ) = c 0 + c 1 W 1 ( p ) u ( t ) + c 2 [ W 2 ( p ) u ( t ) ] 2 {displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+c_{2}[W_{2}(p)u(t)]^{2}}
Простая каскадная модель Винера-ГаммерштейнаПростая каскадная модель Винера-Гаммерштейна. Применяется, когда разность между постоянной составляющей и амплитудой второй гармоники зависит от частоты.
y ( t ) = c 0 W ( 0 ) + c 1 W 1 ( p ) W 2 ( p ) u ( t ) + c 2 W 2 ( p ) [ W 1 ( p ) u ( t ) ] 2 {displaystyle y(t)=c_{0}W(0)+c_{1}W_{1}(p)W_{2}(p)u(t)+c_{2}W_{2}(p)[W_{1}(p)u(t)]^{2}}
Расширенная модель ВинераРасширенная модель Винера. Применяется, когда все перечисленные выше величины зависят от частоты, однако постоянная составляющая и отношение разности постоянных составляющих при разных амплитудах входного воздействия к амплитуде второй гармоники, представляют собой тригонометрические функции от частоты.
y ( t ) = c 0 + c 1 W 1 ( p ) u ( t ) + [ W 2 ( p ) u ( t ) ] [ W 3 ( p ) u ( t ) ] {displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+[W_{2}(p)u(t)][W_{3}(p)u(t)]}
Обобщенная каскадная модель Винера-ГаммерштейнаОбобщенная каскадная модель Винера-Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая и отношение разности постоянных составляющих при разных амплитудах входного воздействия к амплитуде второй гармоники, зависят от частоты, однако эти зависимости не являются тригонометрическими функциями от частоты.
y ( t ) = c 0 + c 1 W 1 ( p ) u ( t ) + W 3 ( p ) [ W 2 ( p ) u ( t ) ] 2 {displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+W_{3}(p)[W_{2}(p)u(t)]^{2}}
Расширенная каскадная модель Винера-ГаммерштейнаРасширенная каскадная модель Винера-Гаммерштейна. Применяется, когда постоянная составляющая представляет собой тригонометрическую функцию от частоты, однако отношение разности постоянных составляющих при разных амплитудах входного воздействия к амплитуде второй гармоники зависит от частоты, однако эта зависимость не является тригонометрической функцией от частоты.
y ( t ) = c 0 + c 1 W 1 ( p ) u ( t ) + W 4 ( p ) [ W 2 ( p ) u ( t ) ] [ W 3 ( p ) u ( t ) ] {displaystyle y(t)=c_{0}+c_{1}W_{1}(p)u(t)+W_{4}(p){[W_{2}(p)u(t)][W_{3}(p)u(t)]}}
Простая каскадная модель Гаммерштейна-ВинераПростая каскадная модель Гаммерштейна-Винера. Применяется, когда выходной периодический сигнал содержит третью и четвертую гармонику. y ( t ) = d 0 + c 0 d 1 W ( 0 ) + c 0 2 d 2 W 2 ( 0 ) + [ c 1 d 1 W ( p ) + 2 c 0 c 1 d 2 W ( 0 ) W ( p ) ] u ( t ) + [ c 2 d 1 W ( p ) + c 1 2 d 2 W 2 ( p ) + 2 c 0 c 2 d 2 W ( 0 ) W ( p ) ] u 2 ( t ) + 2 c 1 c 2 d 2 W 2 ( p ) u 3 ( t ) + c 2 2 d 2 W 2 ( p ) u 4 ( t ) {displaystyle y(t)=d_{0}+c_{0}d_{1}W(0)+c_{0}^{2}d_{2}W^{2}(0)+[c_{1}d_{1}W(p)+2c_{0}c_{1}d_{2}W(0)W(p)]u(t)+[c_{2}d_{1}W(p)+c_{1}^{2}d_{2}W^{2}(p)+2c_{0}c_{2}d_{2}W(0)W(p)]u^{2}(t)+2c_{1}c_{2}d_{2}W^{2}(p)u^{3}(t)+c_{2}^{2}d_{2}W^{2}(p)u^{4}(t)}
Модель фильтра Заде. Применяется, когда постоянная составляющая выходного периодического сигнала не зависит от степени нелинейного преобразования.
y ( t ) = y 0 + ∑ i = 1 n a i ∫ 0 t h t ( θ ) x i ( t − θ ) d θ + γ ( t ) {displaystyle y(t)=y_{0}+sum _{i=1}^{n}{a_{i}}int limits _{0}^{t}h_{t}( heta )x^{i}(t- heta ),d heta +gamma (t)}