Сферические теоремы косинусов

17.11.2022


Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника.

Формулировка

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

cos ⁡ c = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ C , {displaystyle cos c=cos acos b+sin asin bcos C,} cos ⁡ A = − cos ⁡ B cos ⁡ C + sin ⁡ B sin ⁡ C cos ⁡ a . {displaystyle cos A=-cos Bcos C+sin Bsin Ccos a.}

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них.

Доказательство

Доказательство проведём с помощью проекций. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π - C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

pr  O N = pr  O M + pr  M P + pr  P N {displaystyle {mbox{pr }}ON={mbox{pr }}OM+{mbox{pr }}MP+{mbox{pr }}PN} , P N ⊥ O A ⇒ pr  P N = 0 {displaystyle PNperp OARightarrow {mbox{pr }}PN=0} , pr  O M = O M cos ⁡ b = R cos ⁡ a cos ⁡ b {displaystyle {mbox{pr }}OM=OMcos b=Rcos acos b} , pr  M P = P M cos ⁡ ( π − ( π 2 − ∠ M P N ) ) = P M ( − sin ⁡ ∠ M P N ) {displaystyle {mbox{pr }}MP=PMcos(pi -({frac {pi }{2}}-angle MPN))=PM(-sin angle MPN)} = B M cos ⁡ ∠ P M B ( − sin ⁡ b ) = B M cos ⁡ ( π − C ) ( − sin ⁡ b ) = R sin ⁡ b sin ⁡ a cos ⁡ C {displaystyle =BMcos angle PMB(-sin b)=BMcos(pi -C)(-sin b)=Rsin bsin acos C} .

Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем:

cos ⁡ c = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ C {displaystyle cos c=cos acos b+sin asin bcos C} .

Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв:

a → b → c → a , A → B → C → A {displaystyle a ightarrow b ightarrow c ightarrow a,A ightarrow B ightarrow C ightarrow A}

Следствия и применение

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

cos ⁡ c = cos ⁡ a cos ⁡ b . {displaystyle cos c=cos acos b.}

Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек φ A {displaystyle varphi _{A}} и φ B {displaystyle varphi _{B}} , разность долгот — Δ λ A B {displaystyle Delta lambda _{AB}} , кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии:

cos ⁡ ( d a ) = sin ⁡ φ A ⋅ sin ⁡ φ B + cos ⁡ φ A ⋅ cos ⁡ φ B ⋅ cos ⁡ Δ λ A B {displaystyle cos left({frac {d}{a}} ight)=sin varphi _{A}cdot sin varphi _{B}+cos varphi _{A}cdot cos varphi _{B}cdot cos Delta lambda _{AB}}

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника PnAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам.

Пример 1: определение углового расстояния между двумя светилами на небесной сфере

Определим угловое расстояние (x) между звездой δ Цефея (экваториальные координаты: α1=22ч 29м, δ1=+58° 25′) и галактикой Туманность Андромеды (α2=0ч 43м, δ2=+41° 16′) на небесной сфере. Выражаем α1 в градусах и долях градуса:

α 1 = ( 22 + 29 60 ) ⋅ 360 24 = 337 ∘ , 25 {displaystyle alpha _{1}=left(22+{frac {29}{60}} ight)cdot {frac {360}{24}}=337^{circ },25}

Аналогично получаем, что α2=10°,75. Выражаем δ1 в градусах и долях градуса:

δ 1 = 58 + 25 60 = 58 ∘ , 42 {displaystyle delta _{1}=58+{frac {25}{60}}=58^{circ },42}

Аналогично δ2=41°,27. Применяем теорему косинусов:

cos ⁡ x = cos ⁡ ( 90 ∘ − δ 1 ) ⋅ cos ⁡ ( 90 ∘ − δ 2 ) + sin ⁡ ( 90 ∘ − δ 1 ) ⋅ sin ⁡ ( 90 ∘ − δ 2 ) ⋅ cos ⁡ ( α 1 − α 2 ) = sin ⁡ 58 ∘ , 42 ⋅ sin ⁡ 41 ∘ , 27 + cos ⁡ 58 ∘ , 42 ⋅ cos ⁡ 41 ∘ , 27 ⋅ cos ⁡ ( 337 ∘ , 25 − 10 ∘ , 75 ) = 0 , 89 {displaystyle {egin{aligned}cos x&=cos(90^{circ }-delta _{1})cdot cos(90^{circ }-delta _{2})+sin(90^{circ }-delta _{1})cdot sin(90^{circ }-delta _{2})cdot cos(alpha _{1}-alpha _{2})&=sin 58^{circ },42cdot sin 41^{circ },27+cos 58^{circ },42cdot cos 41^{circ },27cdot cos(337^{circ },25-10^{circ },75)&=0,89end{aligned}}}

Отсюда x=27°,11.

Теорема косинусов в её втором виде (соотношение между тремя углами и стороной) может быть применена для вычисления взаимного наклонения двух орбит при известном наклонении каждой орбиты к какой-то другой плоскости. Например, по этой формуле можно вычислить наклонение орбиты Плутона к орбите Нептуна, используя наклонения их орбит к эклиптике и долготы их восходящих узлов.

Пример 2: определение взаимного наклонения орбит небесных тел

Определим взаимное наклонение (x) орбит Плутона (наклонение орбиты к эклиптике — 17°,14, долгота восходящего узла — 110°,30) и Нептуна (наклонение орбиты к эклиптике — 1°,77, долгота восходящего узла — 131°,79). В соответствующем сферическом треугольнике известны два угла: один равен наклонению орбиты Плутона к эклиптике, другой — дополнению наклонения орбиты Нептуна к эклиптике до 180 градусов. Известна также прилегающая к этим углам сторона, равная разности долгот восходящих узлов Плутона и Нептуна. Осталось применить второй вариант теоремы косинусов — для углов:

cos ⁡ x = − cos ⁡ ( 17 ∘ , 14 ) ⋅ cos ⁡ ( 180 ∘ − 1 ∘ , 77 ) + sin ⁡ ( 17 ∘ , 14 ) ⋅ sin ⁡ ( 180 ∘ − 1 ∘ , 77 ) ⋅ cos ⁡ ( 131 ∘ , 79 − 110 ∘ , 30 ) ≈ 0 , 9636 {displaystyle {egin{aligned}cos x&=-cos(17^{circ },14)cdot cos(180^{circ }-1^{circ },77)+sin(17^{circ },14)cdot sin(180^{circ }-1^{circ },77)cdot cos(131^{circ },79-110^{circ },30)&approx 0,9636end{aligned}}}

Отсюда x≈15°,51.

История

Математики средневекового Востока использовали утверждение, равносильное сферической теореме косинусов, при решении конкретных астрономических задач. Эти соотношения, используемые при определении высоты Солнца, встречаются в сочинениях Сабита ибн Корры, ал-Махани, ал-Баттани, Ибн Юниса, ал-Бируни.

Первая явная формулировка теоремы дана в XV веке Региомонтаном, который назвал её «теоремой Альбатегния» (по латинизированному имени ал-Баттани).