Лемма Йонеды

26.10.2022


Лемма Йонеды — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Общий случай

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта A {displaystyle A} можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый:

h A = H o m ( A , − ) {displaystyle h^{A}=mathrm {Hom} (A,-)} .

Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта A {displaystyle A} категории C {displaystyle {mathcal {C}}} , естественные преобразования из h A {displaystyle h^{A}} в произвольный функтор F {displaystyle F} из категории C {displaystyle {mathcal {C}}} в категорию множеств S e t {displaystyle mathbf {Set} } находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами F ( A ) {displaystyle F(A)} :

N a t ( h A , F ) ≅ F ( A ) {displaystyle mathrm {Nat} (h^{A},F)cong F(A)} .

Для данного естественного преобразования Φ {displaystyle Phi } из h A {displaystyle h^{A}} в F {displaystyle F} соответствующий элемент F ( A ) {displaystyle F(A)} — это u = Φ A ( i d A ) {displaystyle u=Phi _{A}(mathrm {id} _{A})} , то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:

h A = H o m ( − , A ) {displaystyle h_{A}=mathrm {Hom} (-,A)} ,

отправляющий X {displaystyle X} во множество H o m ( X , A ) {displaystyle mathrm {Hom} (X,A)} . Для произвольного контравариантного функтора G {displaystyle G} из C {displaystyle {mathcal {C}}} в S e t {displaystyle mathbf {Set} }

N a t ( h A , G ) ≅ G ( A ) {displaystyle mathrm {Nat} (h_{A},G)cong G(A)} .

Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

Диаграмма показывает, что естественное преобразование Φ {displaystyle Phi } полностью определяется Φ A ( i d A ) = u {displaystyle Phi _{A}(mathrm {id} _{A})=u} , так как для любого морфизма f : A → X {displaystyle fcolon A o X} :

Φ X ( f ) = ( F f ) u {displaystyle Phi _{X}(f)=(Ff)u} .

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого u ∈ F ( A ) {displaystyle uin F(A)} (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.

Вложение Йонеды

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор F {displaystyle F} также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:

N a t ( h A , h B ) ≅ H o m ( B , A ) {displaystyle mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})cong mathrm {Hom} (B,A)} .

Отображение каждого объекта A {displaystyle A} категории C {displaystyle {mathcal {C}}} в соответствующий Hom-функтор h A = H o m ( A , − ) {displaystyle h^{A}=Hom(A,-)} и каждый морфизм f : B → A {displaystyle fcolon B o A} в соответствующее естественное преобразование H o m ( f , − ) {displaystyle mathrm {Hom} (f,-)} задаёт контравариантный функтор h − {displaystyle h^{-}} из C {displaystyle {mathcal {C}}} в S e t C {displaystyle mathbf {Set} ^{mathcal {C}}} , либо ковариантный функтор:

h − : C op → S e t C {displaystyle h^{-}colon {mathcal {C}}^{ ext{op}} o mathbf {Set} ^{mathcal {C}}} .

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что h − {displaystyle h^{-}} — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение C o p {displaystyle {mathcal {C}}^{op}} в категорию функторов в S e t {displaystyle mathbf {Set} } .

В контравариантном случае по лемме Йонеды:

N a t ( h A , h B ) ≅ H o m ( A , B ) {displaystyle mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})cong mathrm {Hom} (A,B)} .

Следовательно h − {displaystyle h_{-}} задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):

h − : C → S e t C o p {displaystyle h_{-}colon {mathcal {C}} o mathbf {Set} ^{{mathcal {C}}^{mathrm {op} }}} .