Теорема Фенхеля — Моро



Теорема Фенхеля — Моро — необходимое и достаточное условие того, что вещественнозначная функция равна своему двоекратному выпуклому сопряжению. При этом для любой функции верно, что f ∗ ∗ ⩽ f {displaystyle f^{**}leqslant f} .

Утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы о биполяре. Она используется в теории двойственности для доказательства сильной двойственности (через функцию возмущений).

Теорема доказана для конечномерного случая Вернером Фенхелем в 1949 году и для бесконечномерного — Жан-Жаком Моро в 1960 году.

Утверждение теоремы

Пусть ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} будет хаусдорфовым локально выпуклым пространством. Для любой функции со значениями на расширенной числовой прямой f : X → R ∪ { ± ∞ } {displaystyle f:X o mathbb {R} cup {pm infty }} следует, что f = f ∗ ∗ {displaystyle f=f^{**}} , где f ∗ {displaystyle f^{*}} — выпуклое сопряжение к f {displaystyle f} , тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

  • f {displaystyle f} является собственной выпуклой функцией полунепрерывной снизу и выпуклой функцией,
  • f ≡ + ∞ {displaystyle fequiv +infty } , или
  • f ≡ − ∞ {displaystyle fequiv -infty } .
  • В геометрической формулировке теорема утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, является выпуклость и замкнутость этой функции.