Уравнение xʸ = yˣ

26.09.2022


Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство x y = y x {displaystyle x^{y}=y^{x}} выполняется для некоторых пар ( x , y ) , {displaystyle (x,y),} например, x = 2 , y = 4. {displaystyle x=2,y=4.}

История

Уравнение x y = y x {displaystyle x^{y}=y^{x}} упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728). В письме говорится, что при x ≠ y {displaystyle x eq y} пара ( 2 , 4 ) {displaystyle (2,4)} — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729) содержится общее решение уравнения, полученное заменой y = v x . {displaystyle y=vx.} Аналогичное решение дано Эйлером. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если r , n {displaystyle r,n} — положительные целые, r ⩾ 3 {displaystyle rgeqslant 3} или n ⩾ 3 , {displaystyle ngeqslant 3,} то r r + n > ( r + n ) r , {displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r},} таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи x = 1 {displaystyle x=1} и x = 2. {displaystyle x=2.}

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема, что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля.

Решения в действительных числах

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения x = y . {displaystyle x=y.} Нетривиальные решения можно найти, положив x ≠ y , {displaystyle x eq y,} y = v x . {displaystyle y=vx.} Тогда

( v x ) x = x v x = ( x v ) x . {displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}

Возведение обеих сторон в степень 1 x {displaystyle { frac {1}{x}}} с последующим делением на x {displaystyle x} даёт

v = x v − 1 . {displaystyle v=x^{v-1}.}

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

x = v 1 v − 1 , {displaystyle x=v^{frac {1}{v-1}},} y = v v v − 1 . {displaystyle y=v^{frac {v}{v-1}}.}

Нетривиальное решение в натуральных числах 4 2 = 2 4 {displaystyle 4^{2}=2^{4}} можно получить, положив v = 2 {displaystyle v=2} или v = 1 2 . {displaystyle v={ frac {1}{2}}.}

Решение в терминах W-функции Ламберта

Решение уравнения y x = x y {displaystyle y^{x}=x^{y}} возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта W ( x ) {displaystyle W(x)} от переменной x {displaystyle x} :

y x = x y ⟺ y 1 y = x 1 x {displaystyle y^{x}=x^{y}Longleftrightarrow y^{frac {1}{y}}=x^{frac {1}{x}}} , сделаем замену x = 1 z {displaystyle x={frac {1}{z}}} :

y 1 y = ( 1 z ) 1 ÷ 1 z ⟺ ( 1 z ) z = y 1 y ⟺ z − z = y 1 y ⟺ z z = y − 1 y {displaystyle y^{frac {1}{y}}={iggl (}{frac {1}{z}}{iggr )}^{1div {frac {1}{z}}}Longleftrightarrow {iggl (}{frac {1}{z}}{iggr )}^{z}=y^{frac {1}{y}}Longleftrightarrow z^{-z}=y^{frac {1}{y}}Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{frac {1}{y}}}}

Теперь переменную z {displaystyle z} можно выразить через W-функцию Ламберта: z = e W ( ln ⁡ ( y − 1 y ) ) {displaystyle z=e^{W{igl (}ln {igl (}y^{-{frac {1}{y}}}{igr )}{igr )}}}

Окончательно решение будет выглядеть так: x = e − W ( ln ⁡ ( y − 1 y ) ) {displaystyle x=e^{-W{igl (}ln {igl (}y^{-{frac {1}{y}}}{igr )}{igr )}}}

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке e − 1 e ⩽ y − 1 y < 1 {displaystyle e^{-{frac {1}{e}}}leqslant y^{-{frac {1}{y}}}<1} или e 1 e ⩽ y 1 y < 1 {displaystyle e^{frac {1}{e}}leqslant y^{frac {1}{y}}<1} уравнение буде иметь два корня x 1 , x 2 {displaystyle x_{1},x_{2}} .

Какой из параметров ( y {displaystyle y} или x {displaystyle x} ), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной x {displaystyle x} (или y {displaystyle y} ) верно неравенство y {displaystyle y} (или x {displaystyle x} )< e 1 e {displaystyle e^{frac {1}{e}}} , то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах суперкорня второй степени

Уравнение y x = x y {displaystyle y^{x}=x^{y}} является частным случаем уравнения y x = b x n ,   y , b = c o n s t {displaystyle y^{x}=bx^{n},{ ext{ }}y,b=const} при b = 1 {displaystyle b=1} и n = y {displaystyle n=y} . Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:

y x = x y ⟺ x 1 , 2 , 3 = y log y ⁡ ( 1 2 ( y ± 1 y × 1 y ) ) − 1 ⟺ x 1 , 2 , 3 = − y log y ⁡ ( 1 2 ( y ± 1 y ) ) {displaystyle y^{x}=x^{y}Longleftrightarrow x_{1,2,3}=ylog _{y}{iggl (}{}^{frac {1}{2}}{Bigl (}y^{pm {frac {1}{y imes {sqrt[{y}]{1}}}}}{Bigr )}{iggr )}^{-1}Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-ylog _{y}{iggl (}{}^{frac {1}{2}}{Bigl (}y^{pm {frac {1}{y}}}{Bigr )}{iggr )}}

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений y x = x y {displaystyle y^{x}=x^{y}} и y x = ( − x ) y {displaystyle y^{x}=(-x)^{y}} при чётном y {displaystyle y} , однако, на практике, существует только, максимум, два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени f ( z ) = 1 2 z {displaystyle f(z)={}^{frac {1}{2}}z} есть обратная к вышеописанной функции f ( z ) = z z {displaystyle f(z)=z^{z}} (иначе f ( z ) = 2 z {displaystyle f(z)={}^{2}z} ), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может.

Из данного решения вытекает тождественное равенство: − y log y ⁡ 1 2 ( y − 1 y ) = 1 1 2 ( y − 1 y ) {displaystyle -ylog _{y}{}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}})={frac {1}{{}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}})}}} . Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

− y log y ⁡ 1 2 ( y − 1 y ) = 1 1 2 ( y − 1 y ) ⟺ 1 2 ( y − 1 y ) log y ⁡ 1 2 ( y − 1 y ) = − 1 y {displaystyle -ylog _{y}{}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}})={frac {1}{{}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}})}}Longleftrightarrow {}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}})log _{y}{}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}})=-{frac {1}{y}}} , далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

log y ⁡ ( 1 2 ( y − 1 y ) ) 1 2 ( y − 1 y ) = − 1 y ⟺ log y ⁡ ( y − 1 y ) = − 1 y {displaystyle log _{y}{iggl (}{}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}}){iggr )}^{{}^{frac {1}{2}}(y^{-{frac {1}{y}}})}=-{frac {1}{y}}Longleftrightarrow log _{y}(y^{-{frac {1}{y}}})=-{frac {1}{y}}} . Доказанное тождество является частным от более общего случая при b = − y {displaystyle b=-y} .