Теория Куммера

19.09.2022


В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840-го года в его работе, связанной с теоремой Ферма.

При условии, что характеристика поля p взаимно проста с n при p > 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля и потому относится к общей алгебре.

Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина — Шрейера). Роль группы μ n {displaystyle mu _{n}} (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} исходного поля.

Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случая n = p s {displaystyle n=p^{s}} , где s > 1 {displaystyle s>1} , использующее векторы Витта.

Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.

Расширения Куммера

Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n > 1 выполняются следующие два условия:

  • K содержит n различных корней из единицы n-ой степени (то есть все корни уравнения xn−1)
  • L/K содержит абелеву группу Галуа степени n (то есть n — наименьшее общее кратное порядков элементов этой группы).

Например, для n = 2 первое условие всегда верно, если характеристика K ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения L = K(√a), где a в K не является квадратом. При решении квадратных уравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид. Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратные расширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения. При характеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.

При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 в поле рациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из 1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложения X3a над Q, где a не является кубом рационального числа, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует из факта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должны получить (α/β)3 =1, что является сепарабельным многочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.

Обобщая, если K содержит n различных корней из единицы n-ой степени и характеристика K не делит n, добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элемента a из K образует расширение Куммера (степени m, которое делит n).

В качестве поля разложения полинома Xna расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклической группы Галуа порядка m.

Теория Куммера

Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразного корня степени n, любое циклическое расширение K степени n образуется присоединением корня n-ой степени.

Если K× — мультипликативная группа ненулевых элементов K, циклические расширения K степени n соответствуют однозначно циклическим подгруппам

K × / ( K × ) n , {displaystyle K^{ imes }/(K^{ imes })^{n},}

то есть элементы K× по модулю n-х степеней.

Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическая подгруппа

Δ ⊆ K × / ( K × ) n , {displaystyle Delta subseteq K^{ imes }/(K^{ imes })^{n},}

соответствующее расширение задается формулой

K ( Δ 1 / n ) , {displaystyle K(Delta ^{1/n}),}

то есть присоединением n-х корней элементов Δ к K.

И обратно, если L — расширение Куммера для K, то Δ задается формулой

Δ = K × ∩ ( L × ) n . {displaystyle Delta =K^{ imes }cap (L^{ imes })^{n}.}

В этом случае существует изоморфизм

Δ ≅ Hom ⁡ ( Gal ⁡ ( L / K ) , μ n ) , {displaystyle Delta cong operatorname {Hom} (operatorname {Gal} (L/K),mu _{n}),}

задаваемый формулой

a ↦ ( σ ↦ σ ( α ) α ) , {displaystyle amapsto {iggl (}sigma mapsto {frac {sigma (alpha )}{alpha }}{iggr )},}

где α — любой корень из a n-ой степени в L.

Обобщения

Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группы Галуа степени n, и аналогичное утверждение верно в этом контексте. А именно, можно доказать, что такие расширения являются однозначным отображением в подгруппы

K × / ( K × ) n . {displaystyle K^{ imes }/(K^{ imes })^{n}.}

Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ой степени, иногда используют изоморфизм

K × / ( K × ) n → ∼ H 1 ( G K , μ n ) . {displaystyle K^{ imes }/(K^{ imes })^{n}{stackrel {sim }{ ightarrow }}H^{1}(G_{K},mu _{n}).}