Длина модуля — способ измерения «размера» модуля, обобщающий понятие размерности векторного пространства. Длина определяется как максимальная длина цепочки вложенных подмодулей.
Определение
Пусть M — (левый или правый) модуль над кольцом R. Мы говорим что длина цепочки его подмодулей вида
N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N n {displaystyle N_{0}subsetneq N_{1}subsetneq cdots subsetneq N_{n}}равна n, то есть считаем число строгих включений, а не число подмодулей. Длина модуля M — это наибольшая длина цепочки среди всех цепочек его подмодулей. Если наибольшей длины цепочки не существует, длина M равна бесконечности.
Примеры
- Единственный модуль длины 0 — нулевой модуль. Модули длины 1 называются простыми.
- Для конечномерного векторного пространства длина совпадает с размерностью.
- Длина циклической группы Z / n Z {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } равна числу множителей в разложении n на простые.
Свойства
Модуль имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является артиновым и нётеровым.
Пусть
0 → L → M → N → 0 {displaystyle 0 ightarrow L ightarrow M ightarrow N ightarrow 0}является короткой точной последовательностью модулей. В этом случае M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, причём длина M равна сумме их длин. В частности, длина прямой суммы модулей равна сумме длин компонент.