Риманова поверхность — математический объект, традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия.
Примерами римановых поверхностей являются комплексная плоскость и сфера Римана. Поверхность Римана позволяет геометрически представить многозначные функции комплексного переменного таким образом, что каждой её точке соответствует одно значение многозначной функции, причём при непрерывном перемещении по поверхности непрерывно изменяется и функция. Каноническим видом поверхности Римана является представление в виде плоской лепёшки с некоторым количеством дыр.
Топологической характеристикой римановой поверхности является род; поверхность рода g = 0 {displaystyle g=0} — это сфера, поверхность рода g = 1 {displaystyle g=1} — тор.
История
Поверхности такого рода систематически изучать начал Бернхард Риман (1826—1866).
По мнению Феликса Клейна, идея римановой поверхности принадлежит еще Галуа: в предсмертном письме он упоминает среди своих достижений какие-то исследования по «двусмысленности функций» (фр. ambiguïté des functions).