» » Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

11.08.2022


Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу.

История

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек).

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных». Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций». Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций.

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим; в литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.

Формулировка

Каково бы ни было ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} , в любой окрестности существенно особой точки z 0 {displaystyle z_{0}} функции f ( z ) {displaystyle f(z)} найдётся хотя бы одна точка z 1 {displaystyle z_{1}} , в которой значение функции f ( z ) {displaystyle f(z)} отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на ε {displaystyle varepsilon } .

Доказательство

Предположим, что теорема неверна, т.е.

∃ B ∈ C ∃ ε > 0 ∃ η 0 > 0 : ∀ z : | z − z 0 | < η 0 {displaystyle exists Bin mathbb {C} qquad exists varepsilon >0qquad exists eta _{0}>0:qquad forall z:|z-z_{0}|<eta _{0}} | f ( z ) − B | > ε {displaystyle |f(z)-B|>varepsilon }

Рассмотрим вспомогательную функцию ψ ( z ) = 1 f ( z ) − B {displaystyle psi (z)={frac {1}{f(z)-B}}} . В силу нашего предположения функция ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} определена и ограничена в η 0 {displaystyle eta _{0}} -окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} . Следовательно z 0 {displaystyle z_{0}} - устранимая особая точка ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} . Это означает, что разложение функции ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} в окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} имеет вид:

ψ ( z ) = ( z − z 0 ) m φ ∼ ( z ) φ ∼ ( z ) ≠ 0 {displaystyle psi (z)=(z-z_{0})^{m}{stackrel {sim }{varphi }}(z)qquad {stackrel {sim }{varphi }}(z) eq 0} .

Тогда, в силу определения функции ψ ( z ) {displaystyle psi (z)} , в данной окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} имеет место следующее разложение функции f ( z ) {displaystyle f(z)} :

f ( z ) = ( z − z 0 ) − m φ ( z ) + B {displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{-m}varphi (z)+B} ,

где аналитическая функция φ ( z ) = 1 φ ∼ ( z ) {displaystyle varphi (z)={frac {1}{{stackrel {sim }{varphi }}(z)}}} ограничена в η 0 {displaystyle eta _{0}} -окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} . Но такое разложение означает, что точка z 0 {displaystyle z_{0}} является полюсом или правильной точкой функции f ( z ) {displaystyle f(z)} , и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:

  • Если точка z 0 {displaystyle z_{0}} является существенно особой для функции f ( z ) {displaystyle f(z)} , аналитической в некоторой проколотой окрестности U = { z : 0 < | z − z 0 | < ε } {displaystyle U={z:,0<|z-z_{0}|<varepsilon }} , то для произвольного комплексного числа w {displaystyle w} можно найти последовательность { z n } ⊂ U {displaystyle {z_{n}}subset U} , сходящуюся к z 0 {displaystyle z_{0}} , для которой { f ( z n ) } → w {displaystyle {f(z_{n})} o w} .
  • множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в C {displaystyle mathbb {C} } .

Обобщения

Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.

Комментарии

  • ↑ Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями. — СПб., 1868.
  • Сasorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
  • Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, В. — P. 77-124.
  • С. Вriot, I. Bouquet. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. — 1859.