» » Гипоэллиптический оператор

Гипоэллиптический оператор

22.07.2022


Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу C ∞ {displaystyle C^{infty }} во всех точках пространства, за исключением начала координат.

Определение

Пусть P ( ξ ) {displaystyle P(xi )} — вещественный полином от переменных ξ = ( ξ 1 , … , ξ n ) : {displaystyle xi =(xi _{1},ldots ,xi _{n}):}

P ( ξ ) = ∑ | α | ≤ m a α ξ α := ∑ | α | ≤ m a α ξ 1 α 1 ⋯ ξ n α n , {displaystyle P(xi )=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }xi ^{alpha }:=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }xi _{1}^{alpha _{1}}cdots xi _{n}^{alpha _{n}},}

где α = ( α 1 , … , α n ) ∈ Z + n {displaystyle alpha =(alpha _{1},ldots ,alpha _{n})in mathbb {Z} _{+}^{n}} и | α | = α 1 + ⋯ + α n {displaystyle |alpha |=alpha _{1}+cdots +alpha _{n}} .

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

P ( D ) = ∑ | α | ≤ m a α D α := ∑ | α | ≤ m a α ∂ | α | ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n , {displaystyle P(D)=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }D^{alpha }:=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }{frac {partial ^{|alpha |}}{partial x_{1}^{alpha _{1}}cdots partial x_{n}^{alpha _{n}}}},}

где

D = ( D 1 , … , D n ) , D j = ∂ ∂ x j , j = 1 , … , n . {displaystyle D=(D_{1},ldots ,D_{n}),quad D_{j}={frac {partial }{partial x_{j}}},quad j=1,ldots ,n.}

Обобщенная функция E ( x ) {displaystyle {mathcal {E}}(x)} называется фундаментальным решением дифференциального оператора P ( D ) {displaystyle P(D)} , если она является решением уравнения P ( D ) E ( x ) = δ ( x ) , {displaystyle P(D){mathcal {E}}(x)=delta (x),} где δ ( x ) {displaystyle delta (x)} — дельта-функция Дирака. Оператор P ( D ) {displaystyle P(D)} называется гипоэллиптическим, если E ( x ) {displaystyle {mathcal {E}}(x)} принадлежит классу C ∞ {displaystyle C^{infty }} при всех x ≠ 0 {displaystyle x eq 0} .

Свойства

Следующий критерий гипоэллиптичности часто используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:

Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:

Примеры

  • Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа.
  • Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим.
  • Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.