» » Ядро Дирихле

Ядро Дирихле

09.06.2022


Ядро Дирихле — 2 π {displaystyle 2pi } -периодическая функция, задаваемая следующей формулой:

D n ( x ) = ∑ k = − n n e i k x 2 = 1 2 + ∑ k = 1 n cos ⁡ ( k x ) = sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) x ) 2 sin ⁡ ( x / 2 ) . {displaystyle D_{n}(x)=sum _{k=-n}^{n}{frac {e^{ikx}}{2}}={frac {1}{2}}+sum _{k=1}^{n}cos(kx)={frac {sin left(left(n+{frac {1}{2}} ight)x ight)}{2sin(x/2)}}.}

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве L 2 [ − π , π ] {displaystyle L_{2}[-pi ,pi ]} .

Соотношение с рядом Фурье

Пусть f ( x ) {displaystyle f(x)} — интегрируема на [ − π , π ] {displaystyle [-pi ,pi ]} и 2 π {displaystyle 2pi } -периодическая, тогда ∀ x ∈ R   ∀ n ∈ N {displaystyle forall xin mathbb {R} ~forall nin mathbb {N} }

S n ( f ; x ) = 1 π ∫ − π π f ( x + u ) sin ⁡ ( n + 1 2 ) u 2 sin ⁡ u 2 d u = 1 π ∫ − π π f ( x + u ) D n ( u ) d u {displaystyle S_{n}(f;x)={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(x+u){frac {sin(n+{frac {1}{2}})u}{2sin {frac {u}{2}}}}du={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(x+u)D_{n}(u)du}

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Доказательство

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

S n ( f ; x ) = a 0 2 + ∑ k = 1 n ( a k cos ⁡ ( k x ) + b k sin ⁡ ( k x ) ) ( 1 ) {displaystyle S_{n}(f;x)={frac {a_{0}}{2}}+sum limits _{k=1}^{n}(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx))qquad (1)}

S n ( f ; x ) = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) d t + ∑ k = 1 n [ ( 1 π ∫ − π π f ( t ) cos ⁡ ( k t ) d t ) cos ⁡ ( k x ) + ( 1 π ∫ − π π f ( t ) sin ⁡ ( k t ) d t ) sin ⁡ ( k x ) ] ( 2 ) {displaystyle S_{n}(f;x)={frac {1}{2pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(t)dt+sum _{k=1}^{n}left[left({frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(t)cos(kt)dt ight)cos(kx)+left({frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(t)sin(kt)dt ight)sin(kx) ight]qquad (2)}

S n ( f ; x ) = 1 π ∫ − π π f ( t ) [ 1 2 + ∑ k = 1 n ( cos ⁡ ( k t ) cos ⁡ ( k x ) + sin ⁡ ( k t ) sin ⁡ ( k x ) ) ] d t ( 3 ) {displaystyle S_{n}(f;x)={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(t)left[{frac {1}{2}}+sum _{k=1}^{n}left(cos(kt)cos(kx)+sin(kt)sin(kx) ight) ight]dtqquad (3)}

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

S n ( f ; x ) = 1 π ∫ − π π f ( t ) [ 1 2 + ∑ k = 1 n ( cos ⁡ ( k ( t − x ) ) ] d t ( 4 ) {displaystyle S_{n}(f;x)={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(t)left[{frac {1}{2}}+sum _{k=1}^{n}left(cos(k(t-x) ight) ight]dtqquad (4)}

Рассмотрим сумму косинусов: 1 2 + cos ⁡ α + cos ⁡ ( 2 α ) + . . . + cos ⁡ ( n α ) {displaystyle {frac {1}{2}}+cos alpha +cos(2alpha )+...+cos(nalpha )}

Умножим каждое слагаемое на 2 sin ⁡ ( α 2 ) {displaystyle 2sin({frac {alpha }{2}})} и преобразуем по формуле 2 sin ⁡ α cos ⁡ β = sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) {displaystyle 2sin alpha cos eta =sin(alpha +eta )+sin(alpha -eta )}

2 sin ⁡ ( α 2 ) ( 1 2 + cos ⁡ α + cos ⁡ ( 2 α ) + . . . + cos ⁡ ( n α ) ) = sin ⁡ α 2 − sin ⁡ α 2 + sin ⁡ 3 α 2 − sin ⁡ 3 α 2 + . . . + sin ⁡ ( n + 1 2 ) α = sin ⁡ ( n + 1 2 ) α {displaystyle 2sin({frac {alpha }{2}})left({frac {1}{2}}+cos alpha +cos(2alpha )+...+cos(nalpha ) ight)=sin {frac {alpha }{2}}-sin {frac {alpha }{2}}+sin {frac {3alpha }{2}}-sin {frac {3alpha }{2}}+...+sin(n+{frac {1}{2}})alpha =sin(n+{frac {1}{2}})alpha }

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

S n ( f ; x ) = 1 π ∫ − π π f ( t ) sin ⁡ ( n + 1 2 ) ( t − x ) 2 sin ⁡ t − x 2 d t ( 5 ) {displaystyle S_{n}(f;x)={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(t){frac {sin(n+{frac {1}{2}})(t-x)}{2sin {frac {t-x}{2}}}}dtqquad (5)}

Сделаем замену переменного u = t − x {displaystyle u=t-x}

S n ( f ; x ) = 1 π ∫ − π − x π − x f ( x + u ) sin ⁡ ( n + 1 2 ) u 2 sin ⁡ u 2 d u = 1 π ∫ − π π f ( x + u ) sin ⁡ ( n + 1 2 ) u 2 sin ⁡ u 2 d u ( 6 ) {displaystyle S_{n}(f;x)={frac {1}{pi }}int limits _{-pi -x}^{pi -x}f(x+u){frac {sin(n+{frac {1}{2}})u}{2sin {frac {u}{2}}}}du={frac {1}{pi }}int limits _{-pi }^{pi }f(x+u){frac {sin(n+{frac {1}{2}})u}{2sin {frac {u}{2}}}}duqquad (6)}

Свойства ядра Дирихле

  • D n ( x ) {displaystyle D_{n}(x)} — функция 2 π {displaystyle 2pi } -периодическая и четная.
  • ∀ n ∈ N   ∫ − π π D n ( u ) d u = π {displaystyle forall nin mathbb {N} ~int limits _{-pi }^{pi }D_{n}(u)du={pi }}