» » Уравнение Брио — Буке

Уравнение Брио — Буке

20.05.2022


Уравнение Брио и Буке — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

x m d y d x = f ( x , y ) , ( ∗ ) {displaystyle x^{m}{frac {dy}{dx}}=f(x,y),quad (*)}

где m — натуральное число, функция f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} аналитическая и удовлетворяет условиям f ( 0 , 0 ) = 0 {displaystyle f(0,0)=0} и f y ( 0 , 0 ) ≠ 0 {displaystyle f_{y}(0,0) eq 0} . Уравнения (*) можно рассматривать как в вещественной, так и в комплексной области.

Название дано в честь двух французских математиков XIX века: Шарля Брио и Жан-Клода Буке, которые провели детальное исследование таких уравнений. Они, в частности, доказали, что уравнение (*) с начальным условием y ( 0 ) = 0 {displaystyle y(0)=0} почти всегда (за исключением случая, когда m = 1 {displaystyle m=1} и f y ( 0 , 0 ) {displaystyle f_{y}(0,0)} есть натуральное число) имеет единственное решение, представимое в виде формального степенного ряда y = a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ , {displaystyle y=a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots ,} который сходится в некоторой окрестности точки x = 0 {displaystyle x=0} , если m = 1 {displaystyle m=1} , и может расходиться для всех x ≠ 0 {displaystyle x eq 0} , если m > 1 {displaystyle m>1} .

История