Стереографическая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.
Определение
Точка N {displaystyle N} (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости Π {displaystyle Pi } . Через каждую точку x ≠ N {displaystyle x eq N} сферы проходит единственная прямая D {displaystyle D} , соединяющая N {displaystyle N} и x {displaystyle x} . Прямая D {displaystyle D} пересекает плоскость в единственной точке X {displaystyle X} , которая, таким образом, является образом точки x {displaystyle x} при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой N {displaystyle N} на плоскость Π {displaystyle Pi } .
Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки N {displaystyle N} . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом ∞ {displaystyle infty } . Плоскость, дополненная элементом ∞ {displaystyle infty } , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза x → N {displaystyle x o N} его образ X → ∞ {displaystyle X o infty } .
Свойства
- Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции N {displaystyle N} .
- Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.
- Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой C P 1 {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{1}} на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем R {displaystyle mathbb {R} } ) вещественную плоскость с координатами x , y {displaystyle x,y} как одномерную (над полем C {displaystyle mathbb {C} } ) прямую комплексного переменного z = x + i y {displaystyle z=x+iy} .
- Движения сферы стереографической проекции порождают преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости, подобно тому как Гномоническая проекция порождает проективные преобразования на плоскости.
Приложения
В фотографии
Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.
В кристаллографии
Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.
История
Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.
Вариации и обобщения
Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и E — гиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки P ∈ Sn − {Q} является точка P′ пересечения линии Q P ¯ {displaystyle scriptstyle {overline {QP}}} с E.
Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.