» » Формула Бине (механика)

Формула Бине (механика)

21.04.2022


Формула Бине — дифференциальное уравнение, позволяющее определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

Формулировка

Пусть материальная точка с массой m {displaystyle m} движется под действием центральной силы F → {displaystyle {vec {F}}} . Тогда в полярной системе координат r {displaystyle r} , φ {displaystyle varphi }

d 2 d φ 2 ( 1 r ) + 1 r = − F r m c 2 r 2 . {displaystyle {frac {d^{2}}{dvarphi ^{2}}}left({frac {1}{r}} ight)+{frac {1}{r}}=-{frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}.}

Здесь c {displaystyle c} — так называемая постоянная площадей.

Вывод

Рассмотрим движение материальной точки m {displaystyle m} под действием центральной силы F → {displaystyle {vec {F}}} . Уравнение движения точки m w → = F → {displaystyle m{vec {w}}={vec {F}}} в проекциях на полярные оси m w r = F r {displaystyle mw_{r}=F_{r}} , m w φ = F φ {displaystyle mw_{varphi }=F_{varphi }} , где F φ = 0 {displaystyle F_{varphi }=0} . Радиальное ускорение w r = r ¨ − r φ ˙ 2 {displaystyle w_{r}={ddot {r}}-r{dot {varphi }}^{2}} , трансверсальное ускорение w φ = φ ¨ r + 2 r ˙ φ ˙ {displaystyle w_{varphi }={ddot {varphi }}r+2{dot {r}}{dot {varphi }}} . Получаем m ( r ¨ − r φ ˙ 2 ) = F r {displaystyle m({ddot {r}}-r{dot {varphi }}^{2})=F_{r}} , m ( φ ¨ r + 2 r ˙ φ ˙ ) = 0 {displaystyle m({ddot {varphi }}r+2{dot {r}}{dot {varphi }})=0} . Преобразуем второе уравнение: ( φ ¨ r + 2 r ˙ φ ˙ ) = 1 r d d t ( r 2 φ ˙ ) = 0 {displaystyle ({ddot {varphi }}r+2{dot {r}}{dot {varphi }})={frac {1}{r}}{frac {d}{dt}}(r^{2}{dot {varphi }})=0} . Следовательно: r 2 φ ˙ = c {displaystyle r^{2}{dot {varphi }}=c} , где c {displaystyle c} — константа, называемая постоянной площадей. Подставляя значение φ ˙ {displaystyle {dot {varphi }}} из r 2 φ ˙ = c {displaystyle r^{2}{dot {varphi }}=c} в уравнение m ( r ¨ − r φ ˙ 2 ) = F r {displaystyle m({ddot {r}}-r{dot {varphi }}^{2})=F_{r}} , получаем m ( r ¨ − c 2 r 3 ) = F r {displaystyle mleft({ddot {r}}-{frac {c^{2}}{r^{3}}} ight)=F_{r}} . Последовательно находим r ˙ = d r d φ φ ˙ = c r 2 d r d φ = − c d d φ ( 1 r ) {displaystyle {dot {r}}={frac {dr}{dvarphi }}{dot {varphi }}={frac {c}{r^{2}}}{frac {dr}{dvarphi }}=-c{frac {d}{dvarphi }}left({frac {1}{r}} ight)} , r ¨ = d r ˙ d t = d r ˙ d φ φ ˙ = − c 2 r 2 d 2 d φ 2 ( 1 r ) {displaystyle {ddot {r}}={frac {d{dot {r}}}{dt}}={frac {d{dot {r}}}{dvarphi }}{dot {varphi }}=-{frac {c^{2}}{r^{2}}}{frac {d^{2}}{dvarphi ^{2}}}left({frac {1}{r}} ight)} . Подставляя r ¨ {displaystyle {ddot {r}}} в m ( r ¨ − c 2 r 3 ) = F r {displaystyle mleft({ddot {r}}-{frac {c^{2}}{r^{3}}} ight)=F_{r}} , находим d 2 d φ 2 ( 1 r ) + 1 r = − F r m c 2 r 2 {displaystyle {frac {d^{2}}{dvarphi ^{2}}}left({frac {1}{r}} ight)+{frac {1}{r}}=-{frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}} .