Компактификация Волмэна — Шанина — это компактификация топологических пространств T 1 {displaystyle T_{1}} , которую построил Волмэн.
Определение
Точками компактификации ω X {displaystyle {omega }X} Волмэна пространства X являются максимальные собственные фильтры в частично упорядоченном множестве замкнутых подмножеств X. В явном виде, точка множества ω X {displaystyle {omega }X} — это семейство F {displaystyle {mathcal {F}}} замкнутых непустых подмножеств множества X, таких что F {displaystyle {mathcal {F}}} замкнуто онтосительно конечных пересевений и максимально среди всех семейств, обладающих такими свойствами. Для любого закрытого подмножества F из X класс Φ F {displaystyle Phi _{F}} точек ω X {displaystyle {omega }X} , содержащих F замкнут в ω X {displaystyle {omega }X} . Топология ω X {displaystyle {omega }X} порождается этими замкнутыми классами. Множество ω X {displaystyle {omega }X} с порождённой топологией называется расширением Волмэна пространства X.
Теорема: Для каждого T 1 {displaystyle T_{1}} пространства X его волмэновское расширение ω X {displaystyle {omega }X} является компактным T 1 {displaystyle T_{1}} пространством, содержащим X в качестве всюду плотного подпространства, причём каждое непрерывное отображение f : X → Z {displaystyle fcolon X o Z} пространства X в произвольный компакт Z можно продолжить до непрерывного отображения F : ω X → Z {displaystyle Fcolon {omega }X o Z} .
Специальные случаи
Теорема: Волмэновское расширение ω X {displaystyle {omega }X} пространства X является хаусдорфорвым пространством в том и только в том случае, если X нормально.
Следствие: Если пространство X нормально, то его волмэновское расширение ω X {displaystyle {omega }X} является компактификацией пространства X, эквивалентной стоун-чеховской компактификации этого пространства.
См также
- Решётка (алгебра)
- Бесточечная топология