» » Компактификация Волмэна — Шанина

Компактификация Волмэна — Шанина

17.03.2022


Компактификация Волмэна — Шанина — это компактификация топологических пространств T 1 {displaystyle T_{1}} , которую построил Волмэн.

Определение

Точками компактификации ω X {displaystyle {omega }X} Волмэна пространства X являются максимальные собственные фильтры в частично упорядоченном множестве замкнутых подмножеств X. В явном виде, точка множества ω X {displaystyle {omega }X} — это семейство F {displaystyle {mathcal {F}}} замкнутых непустых подмножеств множества X, таких что F {displaystyle {mathcal {F}}} замкнуто онтосительно конечных пересевений и максимально среди всех семейств, обладающих такими свойствами. Для любого закрытого подмножества F из X класс Φ F {displaystyle Phi _{F}} точек ω X {displaystyle {omega }X} , содержащих F замкнут в ω X {displaystyle {omega }X} . Топология ω X {displaystyle {omega }X} порождается этими замкнутыми классами. Множество ω X {displaystyle {omega }X} с порождённой топологией называется расширением Волмэна пространства X.

Теорема: Для каждого T 1 {displaystyle T_{1}} пространства X его волмэновское расширение ω X {displaystyle {omega }X} является компактным T 1 {displaystyle T_{1}} пространством, содержащим X в качестве всюду плотного подпространства, причём каждое непрерывное отображение f : X → Z {displaystyle fcolon X o Z} пространства X в произвольный компакт Z можно продолжить до непрерывного отображения F : ω X → Z {displaystyle Fcolon {omega }X o Z} .

Специальные случаи

Теорема: Волмэновское расширение ω X {displaystyle {omega }X} пространства X является хаусдорфорвым пространством в том и только в том случае, если X нормально.

Следствие: Если пространство X нормально, то его волмэновское расширение ω X {displaystyle {omega }X} является компактификацией пространства X, эквивалентной стоун-чеховской компактификации этого пространства.

См также

  • Решётка (алгебра)
  • Бесточечная топология