» » Квантовая механика

Квантовая механика

10.03.2022


Квантовая механика — фундаментальная физическая теория, которая описывает природу в масштабе атомов и субатомных частиц. Она лежит в основании всей квантовой физики, включая квантовую химию, квантовую теорию поля, квантовую технологию и квантовую информатику.

Классическая физика, совокупность теорий, существовавших до появления квантовой механики, описывает многие аспекты природы в обычном (макроскопическом) масштабе, но недостаточна для их количественного описания в малых (атомных и субатомных) масштабах. Большинство теорий классической физики можно вывести из квантовой механики как приближения, справедливые в больших (макроскопических) масштабах.

Квантовая механика отличается от классической физики тем, что энергия, импульс, угловой момент и другие величины связанного состояния системы не могут принимать произвольные значения, но ограничены дискретными значениями (квантование), объекты обладают характеристиками как частиц, так и волн (корпускулярно-волновой дуализм), и существуют пределы нашей возможности точно предсказать значение физической величины до её измерения при заданном полном наборе начальных условий (принцип неопределенности).

Квантовая механика постепенно возникла из теорий, объясняющих наблюдения, которые не могли быть согласованы с классической физикой, таких как решение Макса Планка в 1900 году проблемы излучения абсолютно чёрного тела и соответствие между энергией и частотой в статье Альберта Эйнштейна 1905 года, которая объяснила фотоэффект. Эти ранние попытки понять микроскопические явления, теперь известные как «старая квантовая теория», привели к стремительному развитию квантовой механики в середине 1920-х годов в работах Нильса Бора, Эрвина Шрёдингера, Вернера Гейзенберга, Макса Борна и других. Современная теория формулируется в различных специально разработанных математических формализмах. В одном из них математическая сущность, называемая волновой функцией, предоставляет информацию в виде амплитуд вероятности о том, что могут дать измерения энергии, импульса и других физических свойств частицы.

Обзор и основные понятия

Квантовая механика позволяет рассчитывать свойства и поведение физических систем. Обычно она применяется к микроскопическим системам: молекулам, атомам и субатомным частицам. Также было показано, что она верна для сложных молекул с тысячами атомов, хотя её применение к людям поднимает философские вопросы и парадоксы, такие как друг Вигнера, и его применение ко Вселенной в целом остаётся спекулятивным. Предсказания квантовой механики были подтверждены экспериментально с чрезвычайно высокой степенью точности.

Фундаментальной особенностью квантовой теории является то, что она обычно не может с определённостью предсказать, что произойдёт, а только даёт вероятности. Математически вероятность находится путём возведения в квадрат абсолютного значения комплексного числа, известного как амплитуда вероятности. Это утверждение известно как правило Борна, названное в честь физика Макса Борна. Например, квантовая частица, такая как электрон, описывается волновой функцией, которая задаёт для каждой точки пространства амплитуду вероятности. Применение правила Борна к этим амплитудам даёт функцию плотности вероятности для положения, которое будет находиться у электрона, когда будет проведён эксперимент по его измерению. Это лучшее, что может сделать теория; нельзя точно сказать, где будет найден электрон. Уравнение Шрёдингера описывает эволюцию системы во времени, то есть связывает набор амплитуд вероятности, относящихся к одному моменту времени, с набором амплитуд вероятностей, относящихся к другому моменту моменту.

Одним из следствий математических правил квантовой механики является компромисс при попытке определить различные измеримые величины. Самая известная форма такого компромиса — принципа неопределенности гласит, что как бы ни было приготовлено состояние квантовой частицы, или как бы тщательно ни были поставлены над этой частицей опыты, при измерении невозможно точное предсказание значений её положения и импульса в то же самое время.

Ещё одним следствием математических правил квантовой механики является квантовая интерференция, которая часто иллюстрируется опытом с двумя щелями. В базовом варианте этого эксперимента когерентный источник света, например лазерный луч, освещает пластину, с пропезанными двумя параллельными щелями, и свет, проходящий через щели, наблюдается на экране позади пластины. Волновая природа света означает, что световые волны проходят через две щели, интерферируя и создавая на экране яркие и тёмные полосы — результат, которого нельзя было бы ожидать, если бы свет состоял из классических частиц. Однако всегда обнаруживается, что свет поглощается экраном в отдельных точках в виде отдельных частиц, а не волн; интерференционная картина проявляется из-за различной плотности засветки фотографической пластины при попадании этих частиц на экран. Кроме того, в других вариациях опыта, включающих детекторы в щелях, обнаруживают, что каждый наблюдаемый фотон проходит через одну щель (как классическая частица), а не через обе щели (как волна). Однако такие эксперименты показывают, что частицы не формируют интерференционную картину, если определить, через какую щель они проходят. Было обнаружено, что другие объекты атомного масштаба, такие как электроны, демонстрируют такое же поведение, когда падают на экран с двумя щелями. Такое поведение известно как корпускулярно-волновой дуализм, «лежащий в сердце» квантовой механики.

Ещё одно противоречащее повседневному опыту явление, предсказанное квантовой механикой — квантовое туннелирование, когда частица, столкнувшись с потенциальным барьером, может пересечь его, даже если её кинетическая энергия меньше максимума потенциала. В классической механике эта частица отражается всегда от барьера. Квантовое туннелирование имеет несколько важных последствий, включая радиоактивный распад, ядерный синтез в звёздах и такие приложения, как сканирующая туннельная микроскопия и создание туннельных диодов.

Когда квантовые системы взаимодействуют, результатом может быть создание квантовой запутанности: их свойства становятся настолько переплетёнными, что описание целого исключительно в терминах отдельных частей больше невозможно. Шрёдингер назвал запутывание

«… характерная черта квантовой механики — полный отход от классических путей понимания»

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть] „… the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought“

Квантовая запутанность реализует нелогичные свойства квантовой псевдотелепатии и может быть ценным ресурсом в протоколах связи, таких как квантовое распределение ключей и сверхплотное кодирование. Вопреки распространённому заблуждению, запутанность не позволяет посылать сигналы быстрее скорости света, что демонстрирует теорема об отсутствии связи.

Другая возможность, открываемая запутанностью, — это проверка «скрытых переменных», гипотетических свойств, более фундаментальных, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы делать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория. Набор результатов, в первую очередь теорема Белла, продемонстрировал, что широкие классы таких теорий со скрытыми переменными на самом деле несовместимы с квантовой физикой. Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты проверки неравенств Белла будут ограничены определённым образом, поддающимся количественной оценке. Было проведено множество тестов Белла с использованием запутанных частиц, и они показали результаты, несовместимые с ограничениями, налагаемыми теориями с локальными скрытыми переменными.

Невозможно представить эти понятия более чем поверхностно, не вводя при этом фактическую математику; понимание квантовой механики требует не только манипулирования комплексными числами, но и линейной алгебры, дифференциальных уравнений, теории групп и других более сложных областей математики. Физик Джон К. Баэз предупреждает:

«… нельзя понять интерпретацию квантовой механики, не умея решать задачи квантовой механики — чтобы понять эту теорию, нужно уметь использовать её (и наоборот).»

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть] „… there’s no way to understand the interpretation of quantum mechanics without also being able to solve quantum mechanics problems — to understand the theory, you need to be able to use it (and vice versa)“.

Карл Саган обрисовал в общих чертах «математическое обоснование» квантовой механики и написал:

«Для большинства студентов-физиков это может занять у них перид, скажем, от третьего класса до начала аспирантуры — примерно 15 лет. (…) Объём работы популяризатора науки, чтобы попытаться донести какое-то представление о квантовой механике до широкой аудитории, не прошедшей через этот обряд инициации, пугает. Действительно, на мой взгляд, нет успешного популярного изложения квантовой механики — отчасти по этой причине.»

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть] „For most physics students, this might occupy them from, say, third grade to early graduate school – roughly 15 years. […] The job of the popularizer of science, trying to get across some idea of quantum mechanics to a general audience that has not gone through these initiation rites, is daunting. Indeed, there are no successful popularizations of quantum mechanics in my opinion – partly for this reason.“

Соответственно, в этой статье будет представлена математическая формулировка квантовой механики и рассмотрено её применение на некоторых полезных и часто изучаемых примерах.

Математическая формулировка

В математически строгой формулировке квантовой механики состояние квантовомеханической системы представляет собой вектор ψ {displaystyle psi } принадлежащее (сепарабельному) комплексному гильбертовому пространству H {displaystyle {mathcal {H}}} . Постулируется, что этот вектор нормирован относительно скалярного произведения гильбертова пространства, то есть подчиняется условию ⟨ ψ , ψ ⟩ = 1 {displaystyle langle psi ,psi angle =1} , и он корректно определён с точностью до комплексного числа по модулю 1 (глобальная фаза), или, другими словами, состояния ψ {displaystyle psi } и e i α ψ {displaystyle e^{ialpha }psi } представляют одну и ту же физическую систему. Возможные состояния — это точки проективного пространства гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством. Точная природа этого гильбертова пространства зависит от рассматриваемой системы — например, для описания положения и импульса, гильбертово пространство — это пространство комплексных функций, интегрируемых с квадратом L 2 ( C ) {displaystyle L^{2}(mathbb {C} )} , а гильбертово пространство для спина одиночной частицы — это просто пространство двумерных комплексных векторов C 2 {displaystyle mathbb {C} ^{2}} с обычным внутренним произведением.

Интересующие физические величины — положение, импульс, энергия, спин — представлены наблюдаемыми, которые являются эрмитовыми (точнее, самосопряженными) линейными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние может быть собственным вектором наблюдаемой, и в этом случае оно называется собственным состоянием, а связанное с ним собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем смысле квантовое состояние будет линейной комбинацией собственных состояний, известной как квантовая суперпозиция. При измерении наблюдаемой, результатом будет одно из её собственных значений с вероятностью, заданной правилом Борна: в простейшем случае собственное значение λ {displaystyle lambda } является невырожденным, а вероятность определяется выражением | ⟨ λ → , ψ ⟩ | 2 {displaystyle |langle {vec {lambda }},psi angle |^{2}} , где λ → {displaystyle {vec {lambda }}} — его собственный вектор. В более общем случае собственное значение вырождено, а вероятность определяется выражением ⟨ ψ , P λ ψ ⟩ {displaystyle langle psi ,P_{lambda }psi angle } , где P λ {displaystyle P_{lambda }} — проектором на связанное с ним собственное пространство. В непрерывном случае эти формулы используют вместо плотности вероятности.

После измерения, если получен результат λ {displaystyle lambda } , то постулируется, что квантовое состояние коллапсирует до λ → {displaystyle {vec {lambda }}} , в невырожденном случае, или P λ ψ / ⟨ ψ , P λ ψ ⟩ {displaystyle P_{lambda }psi /{sqrt {langle psi ,P_{lambda }psi angle }}} , в общем случае. Таким образом, вероятностный характер квантовой механики проистекает из процесса измерения. Это один из самых сложных для понимания аспектов квантовых систем. Эта тема была центральным вопросом знаменитых дебатов Бора и Эйнштейна, в которых два учёных пытались прояснить эти фундаментальные принципы с помощью мысленных экспериментов. В течение десятилетий после формулировки квантовой механики широко изучался вопрос о том, что представляет собой «измерение». Были сформулированы более новые интерпретации квантовой механики, которые избавляются от концепции «редукции волновой функции» (см., например, многомировая интерпретация). Основная идея заключается в том, что когда квантовая система взаимодействует с измерительным прибором, их соответствующие волновые функции запутываются, так что исходная квантовая система перестаёт существовать как независимая сущность. Подробнее см. в статье об измерении в квантовой механике.

Эволюция квантового состояния во времени описывается уравнением Шрёдингера:

i ℏ d d t ψ ( t ) = H ψ ( t ) . {displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}psi (t)=Hpsi (t),.}

Здесь H {displaystyle H} обозначает гамильтониан, наблюдаемую, соответствующую полной энергии системы, и ℏ {displaystyle hbar } — приведённая постоянная Планка. Постоянная i ℏ {displaystyle ihbar } вводится так, что гамильтониан сводится к классическому гамильтониану в случаях, когда квантовая система может быть аппроксимирована классической системой; возможность сделать такое приближение в определённых пределах называется принципом соответствия.

Формально решение этого дифференциального уравнения даётся выражением

ψ ( t ) = e − i H t / ℏ ψ ( 0 ) . {displaystyle psi (t)=e^{-iHt/hbar }psi (0),.}

Оператор U ( t ) = e − i H t / ℏ {displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }} известен как оператор эволюции и обладает важным свойством унитарности. На этот раз эволюция детерминирована в том смысле, что если задано начальное квантовое состояние ψ ( 0 ) {displaystyle psi (0)} , то он даёт определённое предсказание того, какое квантовое состояние ψ ( t ) {displaystyle psi (t)} будет в любое время позже.

Некоторые волновые функции описывают распределения вероятностей, которые не зависят от времени, такие как собственные состояния гамильтониана. Многие динамические системы, рассматриваемые в классической механике, описываются такими «статическими» волновыми функциями. Например, один электрон в невозбуждённом атоме классически изображается как частица, движущаяся по круговой траектории вокруг ядра атома, тогда как в квантовой механике он описывается статической волновой функцией, окружающей ядро. Например, волновая функция электрона для невозбуждённого атома водорода представляет собой сферически-симметричную функцию, известную как s-орбиталь.

Аналитические решения уравнения Шрёдингера известны для очень немногих относительно простых модельных гамильтонианов, включая квантовый гармонический осциллятор, частицу в ящике, молекулярный ион водорода и атом водорода и другие. Даже атом гелия, который содержит всего два электрона — бросил вызов всем попыткам полностью аналитического решения.

Однако существуют методы нахождения приближённых решений. Один метод, называемый теорией возмущений, использует аналитический результат для простой квантово-механической модели, чтобы построить решение для родственной, но более сложной модели, например, путём добавления малой потенциальной энергии. Другой метод называется «квазиклассическим уравнением движения» и применяется к системам, для которых квантовая механика даёт лишь небольшие отклонения от классического поведения. Затем эти отклонения можно вычислить на основе классического движения. Этот подход особенно важен в области квантового хаоса.

Принцип неопределенности

Одним из следствий основного квантового формализма является принцип неопределенности. В своей наиболее знакомой форме он утверждает, что нельзя для квантовой частицы одновремено точно предсказать её положение и импульс. И положение, и импульс являются наблюдаемыми, а это означает, что они представлены эрмитовыми операторами. Оператор координаты X ^ {displaystyle {hat {X}}} и оператор импульса P ^ {displaystyle {hat {P}}} не коммутируют, а удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению:

[ X ^ , P ^ ] = i ℏ . {displaystyle [{hat {X}},{hat {P}}]=ihbar ,.}

При заданном квантовом состоянии правило Борна позволяет вычислить математические ожидания для X {displaystyle X} и P {displaystyle P} , и их степеней. Определяя неопределенность наблюдаемой по стандартному отклонению, можно записать

σ X = ⟨ X 2 ⟩ − ⟨ X ⟩ 2 , {displaystyle sigma _{X}={sqrt {langle {X}^{2} angle -langle {X} angle ^{2}}},,}

и аналогично для импульса:

σ P = ⟨ P 2 ⟩ − ⟨ P ⟩ 2 . {displaystyle sigma _{P}={sqrt {langle {P}^{2} angle -langle {P} angle ^{2}}},.}

Принцип неопределенности гласит, что

σ X σ P ≥ ℏ 2 . {displaystyle sigma _{X}sigma _{P}geq {frac {hbar }{2}},.}

Любое стандартное отклонение в принципе можно сделать сколь угодно малым, но не оба одновременно. Это неравенство обобщается на произвольные пары самосопряжённых операторов A {displaystyle A} и B {displaystyle B} . Коммутатор этих двух операторов по определению равен

[ A , B ] = A B − B A , {displaystyle [A,B]=AB-BA,}

что задаёт нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

σ A σ B ≥ 1 2 | ⟨ [ A , B ] ⟩ | . {displaystyle sigma _{A}sigma _{B}geq {frac {1}{2}}left|langle [A,B] angle ight|.}

Другим следствием канонического коммутационного соотношения является то, что операторы координаты и импульса являются преобразованиями Фурье друг друга, так что описание объекта в соответствии с его импульсом является преобразованием Фурье его описания в соответствии с его координатой. Тот факт, что зависимость по импульсу является преобразованием Фурье зависимости по положению, означает, что оператор импульса эквивалентен (с точностью до i / ℏ {displaystyle i/hbar } фактора) к взятию производной по координате, так как в анализе Фурье дифференцированию соответствует умножение в двойственном пространстве. Вот почему в квантовых уравнениях в координатном пространстве импульс p i {displaystyle p_{i}} заменяется выражением − i ℏ ∂ ∂ x {displaystyle -ihbar {frac {partial }{partial x}}} , и, в частности, в нерелятивистском уравнении Шрёдингера в координатном пространстве квадрат импульса заменён лапласианом, умноженным на − ℏ 2 {displaystyle -hbar ^{2}} .

Составные системы и запутанность

Когда две разные квантовые системы рассматриваются вместе, гильбертово пространство объединённой системы представляет собой тензорное произведение гильбертовых пространств двух компонент. Например, пусть A и B — две квантовые системы с гильбертовыми пространствами H A {displaystyle {mathcal {H}}_{A}} и H B {displaystyle {mathcal {H}}_{B}} , соответственно. Тогда гильбертово пространство составной системы равно

H A B = H A ⊗ H B . {displaystyle {mathcal {H}}_{AB}={mathcal {H}}_{A}otimes {mathcal {H}}_{B}.}

Если состояние для первой системы есть вектор ψ A {displaystyle psi _{A}} , а состояние для второй системы — ψ B {displaystyle psi _{B}} , то состояние составной системы равно

ψ A ⊗ ψ B . {displaystyle psi _{A}otimes psi _{B}.}

Не все состояния в совместном гильбертовом пространстве H A B {displaystyle {mathcal {H}}_{AB}} однако можно записать в такой форме, потому что принцип суперпозиции подразумевает, что линейные комбинации этих «разделимых» или «составных» состояний также возможны. Например, если ψ A {displaystyle psi _{A}} и ϕ A {displaystyle phi _{A}} оба возможных состояния системы A {displaystyle A} , а также ψ B {displaystyle psi _{B}} и ϕ B {displaystyle phi _{B}} оба возможных состояния системы B {displaystyle B} , тогда

1 2 ( ψ A ⊗ ψ B + ϕ A ⊗ ϕ B ) {displaystyle { frac {1}{sqrt {2}}}left(psi _{A}otimes psi _{B}+phi _{A}otimes phi _{B} ight)}

является допустимым совместным состоянием, которое не является разделимым. Состояния, которые не являются разделимыми, называются запутанными или сцепленными.

Если состояние составной системы запутано, то ни компонентную систему A ни систему B невозможно описать вектором состояния. Вместо этого можно определить матрицы плотности подсистемы, которые описывают статистику, которую можно получить, выполняя измерения только на любой компонентной системе. Однако это неизбежно приводит к потере информации: знания матриц плотности отдельных систем недостаточно для восстановления состояния составной системы. Точно так же, как матрицы плотности определяют состояние подсистемы более крупной системы, аналогичным образом положительные операторнозначные меры (POVM) описывают влияние на подсистему измерения, выполненного в более крупной системе. POVM широко используются в квантовой теории информации.

Как описано выше, запутанность является ключевой особенностью моделей процессов измерения, в которых детектор запутывается с измеряемой системой. Системы, взаимодействующие с окружающей средой, в которой они находятся, обычно запутываются с этой средой — явление, известное как квантовая декогеренция. Это может объяснить, почему на практике квантовые эффекты трудно наблюдать в системах крупнее микроскопических.

Эквивалентность формулировок

Существует множество математически эквивалентных формулировок квантовой механики. Одной из старейших и наиболее распространённых является «теория преобразований», предложенная Полем Дираком, которая объединяет и обобщает две самые ранние формулировки квантовой механики — матричную механику (изобретена Вернером Гейзенбергом) и волновую механику (изобретена Эрвином Шредингером). Альтернативной формулировкой квантовой механики является формулировка интеграла по траекториям Фейнмана, в которой квантовомеханическая амплитуда рассматривается как сумма всех возможных классических и неклассических путей между начальным и конечным состояниями. Это квантовомеханический аналог принципа действия в классической механике.

Симметрии и законы сохранения

Гамильтониан H {displaystyle H} известен как генератор эволюции во времени, поскольку он определяет унитарный оператор эволюции во времени U ( t ) = e − i H t / ℏ {displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }} для каждого значения t {displaystyle t} . Из этого отношения между U ( t ) {displaystyle U(t)} и H {displaystyle H} , то любая наблюдаемая A {displaystyle A} которая коммутирует с H {displaystyle H} будет сохраняться: его ожидаемое значение не изменится с течением времени. Это утверждение обобщается, так как математически, любой эрмитов оператор A {displaystyle A} может генерировать семейство унитарных операторов, параметризованных переменной t {displaystyle t} . Под эволюцией, порождённой A {displaystyle A} , любая наблюдаемая B {displaystyle B} который коммутирует с A {displaystyle A} будет сохраняться. Более того, если B {displaystyle B} сохраняется эволюцией при A {displaystyle A} , тогда A {displaystyle A} сохраняется при эволюции, порождённой B {displaystyle B} . Это подразумевает квантовую версию результата, доказанного Эмми Нётер в классической (лагранжевой) механике: для каждого непрерывного преобразования симметрии, оставляющего действие инвариантным имеется соответствующий закон сохранения.

Примеры

Свободная частица

Простейшим примером квантовой системы с координатной степенью свободы является свободная частица в одном пространственном измерении. Свободная частица — это частица, не подверженная внешним воздействиям, поэтому её гамильтониан состоит только из её кинетической энергии, а уравнение Шрёдингера принимает вид:

ℏ i ∂ ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 , {displaystyle {frac {hbar }{i}}{frac {partial psi }{partial t}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}psi }{partial x^{2}}},,}

где i {displaystyle i} — мнимая единица, ℏ {displaystyle hbar } — редуцированная постоянная Планка, m {displaystyle m} — масса частицы. Это уравнение допускает разделение переменных, и общее решение уравнения Шрёдингера даётся выражением в виде любого сходящегося интеграла, который описывает волновой пакет плоских волн общего вида

ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ + ∞ C ( k ) e i ( k x − ω t ) d k , {displaystyle psi (x,t)=int _{-infty }^{+infty }C(k)e^{i(kx-omega t)}dk,,}

где ω {displaystyle omega } — частота, k {displaystyle k} — волновое число и условие конечности интеграла: lim | k | → ∞ C ( k ) ≈ | k | − α {displaystyle lim _{|k| ightarrow infty }C(k)approx |k|^{-alpha }} при α ≥ 1 {displaystyle alpha geq 1} . В частном случае гауссова пакета волновая функция для частицы с волновым числом k 0 {displaystyle k_{0}} в момент времени t = 0 {displaystyle t=0} представляется в виде

ψ ( x , 0 ) = A exp ⁡ ( − x 2 2 a 2 + i k 0 x ) , {displaystyle psi (x,0)=Aexp left(-{frac {x^{2}}{2a^{2}}}+ik_{0}x ight),,}

где a {displaystyle a} — размер волнового пакета, A {displaystyle A} — нормировочный множитель. Для такой частицы скорость задаётся выражением v 0 = ℏ k 0 / m . {displaystyle v_{0}=hbar k_{0}/m,.} Это выражение можно разложить по плоским волнам, чтобы найти коэффициент C ( k ) , {displaystyle C(k),,} который выражается в явном виде

C ( k ) ( k ) = A a ( 2 π ) exp ⁡ [ − 1 2 ( k − k 0 ) ] . {displaystyle C(k)(k)={frac {Aa}{{sqrt {(}}2pi )}}exp left[-{frac {1}{2}}(k-k_{0}) ight],.}

Чтобы найти поведение волновой функции в любой момент времени достаточно проинтегрировать. Плотность задаётся квадратом модуля волновой функции. Она равна в любой момент времени

ρ ( x , t ) = | ψ ( x , t ) | 2 = | A | 2 1 + ( ℏ t m a 2 ) 2 exp ⁡ [ − ( x − ℏ k 0 m t ) a 2 [ 1 + ( ℏ t m a 2 ) 2 ] ] . {displaystyle ho (x,t)=|psi (x,t)|^{2}={frac {|A|^{2}}{sqrt {1+left({frac {hbar t}{ma^{2}}} ight)^{2}}}}exp left[-{frac {left(x-{frac {hbar k_{0}}{m}}t ight)}{a^{2}left[1+left({frac {hbar t}{ma^{2}}} ight)^{2} ight]}} ight],.}

Центр гауссового волнового пакета движется в пространстве с постоянной скоростью ℏ k 0 / m {displaystyle hbar k_{0}/m} , как классическая частица, на которую не действуют никакие силы. Однако с течением времени волновой пакет также будет расплываться на величину ℏ t / m a {displaystyle hbar t/ma} , а это означает, что положение становится всё более и более неопределённым как показано на рисунке.

Частица в ящике

Частица в одномерном потенциале с бесконечными стенками является математически наиболее простым примером, где ограничения приводят к квантованию энергетических уровней. Ящик определяется как имеющая нулевую потенциальную энергию везде внутри определённой области и, следовательно, бесконечную потенциальную энергию повсюду за пределами этой области. Для одномерного случая в x {displaystyle x} направлении, независимое от времени уравнение Шрёдингера можно записать в виде

− ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 = E ψ . {displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=Epsi ,.}

С дифференциальным оператором, определённым как

p ^ x = − i ℏ d d x {displaystyle {hat {p}}_{x}=-ihbar {frac {d}{dx}}}

предыдущее уравнение напоминает классический аналог кинетической энергии,

1 2 m p ^ x 2 = E , {displaystyle {frac {1}{2m}}{hat {p}}_{x}^{2}=E,,}

с состоянием ψ {displaystyle psi } в этом случае с энергией E {displaystyle E} совпадает с кинетической энергией частицы.

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике таковы:

ψ ( x ) = A e i k x + B e − i k x E = ℏ 2 k 2 2 m {displaystyle psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}qquad qquad E={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}

или, по формуле Эйлера,

ψ ( x ) = C sin ⁡ ( k x ) + D cos ⁡ ( k x ) . {displaystyle psi (x)=Csin(kx)+Dcos(kx),.}

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения C , D , {displaystyle C,D,} и k {displaystyle k} в x = 0 {displaystyle x=0} и x = L {displaystyle x=L} , где ψ {displaystyle psi } должена быть равна нулю. Таким образом, при x = 0 {displaystyle x=0} ,

ψ ( 0 ) = 0 = C sin ⁡ ( 0 ) + D cos ⁡ ( 0 ) = D {displaystyle psi (0)=0=Csin(0)+Dcos(0)=D}

и D = 0 {displaystyle D=0} . В x = L {displaystyle x=L} ,

ψ ( L ) = 0 = C sin ⁡ ( k L ) , {displaystyle psi (L)=0=Csin(kL),,}

в котором C {displaystyle C} не может быть равно нулю, так как это противоречило бы постулату о том, что ψ {displaystyle psi } имеет норму 1. Следовательно, поскольку sin ⁡ ( k L ) = 0 {displaystyle sin(kL)=0} , k L {displaystyle kL} должно быть целым числом, кратным π {displaystyle pi } , то

k n = n π L n = 1 , 2 , 3 , … . {displaystyle k_{n}={frac {npi }{L}}qquad qquad n=1,2,3,ldots ,.}

Это ограничение на k {displaystyle k} подразумевает ограничение на уровни энергии, что даёт

E n = ℏ 2 π 2 n 2 2 m L 2 = n 2 h 2 8 m L 2 . {displaystyle E_{n}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}},.}

Прямоугольная квантовая яма — это обобщение проблемы бесконечной потенциальной ямы на потенциальные ямы конечной глубины. Проблема конечной потенциальной ямы математически более сложна, чем проблема частицы в ящике, поскольку волновая функция не привязана к нулю на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях вне ямы. Другая родственная проблема связана с прямоугольным потенциальным барьером, который представляет собой модель эффекта квантового туннелирования, играющего важную роль в работе современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия.

Гармонический осциллятор

Потенциал квантового гармонического осциллятора как и в классическом случае определяется выражением

V ( x ) = 1 2 m ω 2 x 2 . {displaystyle V(x)={frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2},.}

Эту задачу можно решить либо путём непосредственного решения уравнения Шрёдингера, что не является тривиальным, либо с помощью более элегантного «лестнечного метода», впервые предложенного Полем Дираком. Собственные состояния задаются

ψ n ( x ) = 1 2 n n ! ( λ π ) 1 / 4 e − λ x 2 2 H n ( λ x ) , {displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}}left({frac {lambda }{pi }} ight)^{1/4}e^{-{frac {lambda x^{2}}{2}}}H_{n}left({sqrt {lambda }}x ight),,}

где λ = m ω / ℏ {displaystyle lambda =momega /hbar } и n = 0 , 1 , 2 , … , {displaystyle n=0,1,2,ldots ,,} H n — полиномы Эрмита

H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( e − x 2 ) , {displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left(e^{-x^{2}} ight),}

и соответствующие уровни энергии

E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) . {displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2} ight),.}

Это ещё один пример, иллюстрирующий дискретизацию энергии для связанных состояний.

Интерферометр Маха — Цендера

Интерферометр Маха — Цендера (MZI) иллюстрирует концепции суперпозиции и интерференции с линейной алгеброй в дискретном пространстве размерности 2, а не используя дифференциальные уравнения. Его можно рассматривать как упрощённую версию эксперимента с двумя щелями, хотя он представляет интерес сам по себе, например, в эксперименте с квантовым ластиком с отложенным выбором, эксперимент с бомбами Элицура — Вайдмана и в исследованиях квантовой запутанности.

Если рассмотреть фотон, проходящий через интерферометр, то в каждой точке он может находиться в суперпозиции только двух путей: «нижнего» пути, который начинается слева, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается вверху, и «верхний» путь, который начинается снизу, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается справа. Таким образом, квантовое состояние фотона представляет собой вектор ψ ∈ C 2 {displaystyle psi in mathbb {C} ^{2}} — это суперпозиция «нижнего» пути ψ l = ( 1 0 ) {displaystyle psi _{l}={egin{pmatrix}1end{pmatrix}}} и «верхнего» пути ψ u = ( 0 1 ) {displaystyle psi _{u}={egin{pmatrix}01end{pmatrix}}} , или, ψ = α ψ l + β ψ u {displaystyle psi =alpha psi _{l}+eta psi _{u}} для комплексных коэффициентов α , β {displaystyle alpha ,eta } . Для соблюдения постулата о том, что ⟨ ψ , ψ ⟩ = 1 {displaystyle langle psi ,psi angle =1} требуется, чтобы | α | 2 + | β | 2 = 1 {displaystyle |alpha |^{2}+|eta |^{2}=1} .

Нижний и верхний светоделители задаются матрицами B l = 1 2 ( − 1 1 1 1 ) {displaystyle B_{l}={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}-1&11&1end{pmatrix}}} и B u = 1 2 ( 1 − 1 1 1 ) {displaystyle B_{u}={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1&-11&1end{pmatrix}}} , что означает, что когда фотон встречает светоделитель, он либо остаётся на том же пути с амплитудой вероятности 1 / 2 {displaystyle 1/{sqrt {2}}} , либо отражается на другой путь с амплитудой вероятности 1 / 2 {displaystyle 1/{sqrt {2}}} (со сдвигом фазы на π). Зеркало задаётся матрицей M = ( − 1 0 0 − 1 ) . {displaystyle M={egin{pmatrix}-1&0&-1end{pmatrix}},.} Фазовращатель на плече моделируется унитарной матрицей P = ( e i Δ Φ 0 0 1 ) {displaystyle P={egin{pmatrix}e^{iDelta Phi }&0&1end{pmatrix}}} , что означает, что если фотон находится на «верхнем» пути, он приобретёт относительную фазу Δ Φ {displaystyle Delta Phi } , и он останется неизменным, если он находится на нижнем пути.

Фотон, который входит в интерферометр слева, затем подвергается воздействию светоделителя B l {displaystyle B_{l}} , зекала, фазовращателя P {displaystyle P} , и ещё одного светоделителя B u {displaystyle B_{u}} , оказывается в состоянии

B u P M B l ψ l = 1 2 ( e i Δ Φ + 1 e i Δ Φ − 1 ) , {displaystyle B_{u}PMB_{l}psi _{l}={frac {1}{2}}{egin{pmatrix}e^{iDelta Phi }+1e^{iDelta Phi }-1end{pmatrix}},,}

а вероятности того, что он будет обнаружен справа или вверху, равны соответственно

p ( u ) = | ⟨ ψ u , B u P M B l ψ l ⟩ | 2 = cos 2 ⁡ Δ Φ 2 , {displaystyle p(u)=|langle psi _{u},B_{u}PMB_{l}psi _{l} angle |^{2}=cos ^{2}{frac {Delta Phi }{2}},,} p ( l ) = | ⟨ ψ l , B u P M B l ψ l ⟩ | 2 = sin 2 ⁡ Δ Φ 2 . {displaystyle p(l)=|langle psi _{l},B_{u}PMB_{l}psi _{l} angle |^{2}=sin ^{2}{frac {Delta Phi }{2}},.}

Поэтому можно использовать интерферометр Маха — Цендера для оценки фазового сдвига путём расчёта этих вероятностей.

Можно также определить, что произошло бы, если бы фотон с определённостью находился либо на «нижнем», либо на «верхнем» пути между светоделителями. Этого можно добиться, заблокировав один из путей или, что то же самое, удалив первый светоделитель (и запуская фотон слева или снизу, по желанию). В обоих случаях между путями больше не будет интерференции, и вероятности определяются выражением p ( u ) = p ( l ) = 1 / 2 {displaystyle p(u)=p(l)=1/2} , независимо от фазы Δ Φ {displaystyle Delta Phi } . Из этого можно заключить, что фотон не выбирает тот или иной путь после первого светоделителя, а скорее находится в подлинной квантовой суперпозиции двух путей.

Приложения

Квантовая механика добилась огромных успехов в объяснении многих особенностей нашей Вселенной в отношении мелкомасштабных и дискретных величин и взаимодействий, которые невозможно объяснить классическими методами. Квантовая механика часто является единственной теорией, которая может раскрыть индивидуальное поведение субатомных частиц, составляющих все формы материи (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и другие). Физика твёрдого тела и материаловедение зависят от квантовой механики.

Во многих аспектах современные технологии работают в таких масштабах, где квантовые эффекты существенны. Важные приложения квантовой теории включают квантовую химию, квантовую оптику, квантовые вычисления, сверхпроводящие магниты, светоизлучающие диоды, оптический усилитель и лазер, транзистор и полупроводники, такие как микропроцессор, медицинскую и исследовательскую визуализацию, такую как магнитно-резонансная томография и электронная микроскопия. Объяснения многих биологических и физических явлений коренятся в природе химической связи, в первую очередь в макромолекулах ДНК.

Отношение к другим научным теориям

Классическая механика

Правила квантовой механики утверждают, что пространство состояний системы является гильбертовым пространством, и что наблюдаемым системы соответствуют эрмитовые операторы, действующими на векторы в этом пространстве — хотя они не говорят нам, какое гильбертово пространство или какие операторы. Их можно выбрать соответствующим образом, чтобы получить количественное описание квантовой системы, что является необходимым шагом в предсказаниях поведения физических систем. Важным руководством для принятия этих решений является принцип соответствия, эвристика, которая утверждает, что предсказания квантовой механики сводятся к предсказаниям классической механики в режиме больших квантовых чисел. Можно также начать с установленной классической модели конкретной системы, а затем попытаться угадать лежащую в основе квантовую модель, которая привела бы к классической модели в пределе соответствия. Этот подход известен как квантование.

Когда квантовая механика была первоначально сформулирована, она применялась к моделям, пределом соответствия которых была нерелятивистская классическая механика. Например, хорошо известная модель квантового гармонического осциллятора использует явно нерелятивистское выражение для кинетической энергии осциллятора и, таким образом, является квантовой версией классического гармонического осциллятора.

Сложности возникают с хаотическими системами, у которых нет хороших квантовых чисел, и квантовый хаос изучает взаимосвязь между классическими и квантовыми описаниями в этих системах.

Квантовая декогеренция — это механизм, посредством которого квантовые системы теряют когерентность и, таким образом, становятся неспособными отображать многие типично квантовые эффекты: квантовые суперпозиции становятся просто вероятностными смесями, а квантовая запутанность — просто классическими корреляциями. Квантовая когерентность обычно не проявляется в макроскопических масштабах, за исключением, может быть, температур, приближающихся к абсолютному нулю, при которых квантовое поведение может проявляться макроскопически.

Многие макроскопические свойства классической системы являются прямым следствием квантового поведения её частей. Например, стабильность объёмного вещества (состоящего из атомов и молекул, которые быстро разрушились бы под действием одних только электрических сил), жёсткость твёрдых тел, а также механические, термические, химические, оптические и магнитные свойства вещества — всё это результат взаимодействия электрических зарядов по правилам квантовой механики.

Специальная теория относительности и электродинамика

Ранние попытки объединить квантовую механику со специальной теорией относительности включали замену уравнения Шрёдингера ковариантным уравнением, таким как уравнение Клейна — Гордона или уравнение Дирака. Хотя эти теории были успешными в объяснении многих экспериментальных результатов, они имели некоторые неудовлетворительные качества, проистекающие из пренебрежения рождением и аннигиляцией частиц. Полностью релятивистская квантовая теория потребовала развития квантовой теории поля, которая применяет квантование к полю (а не к фиксированному набору частиц). Первая полная квантовая теория поля, квантовая электродинамика, обеспечивает полностью квантовое описание электромагнитного взаимодействия. Квантовая электродинамика, наряду с общей теорией относительности, является одной из самых точных когда-либо созданных физических теорий.

Полный аппарат квантовой теории поля часто не нужен для описания электродинамических систем. Более простой подход, который использовался с момента зарождения квантовой механики, состоит в том, чтобы рассматривать заряженные частицы как объекты квантовой механики, на которые воздействует классическое электромагнитное поле. Например, элементарная квантовая модель атома водорода описывает электрическое поле атома водорода с помощью классического − e 2 / ( 4 π ϵ 0 r ) {displaystyle extstyle -e^{2}/(4pi epsilon _{_{0}}r)} кулоновского потенциала. Этот «полуклассический» подход терпит неудачу, если квантовые флуктуации электромагнитного поля играют важную роль, например, при излучении фотонов заряженными частицами.

Также были разработаны квантовые теории поля для сильного ядерного взаимодействия и слабого ядерного взаимодействия. Квантовая теория поля сильного ядерного взаимодействия называется квантовой хромодинамикой и описывает взаимодействия субъядерных частиц, таких как кварки и глюоны. Слабое ядерное взаимодействие и электромагнитное взаимодействие были объединены в их квантованных формах в единую квантовую теорию поля (известную как электрослабая теория) физиками Абдусом Саламом, Шелдоном Глэшоу и Стивеном Вайнбергом.

Отношение к общей теории относительности

Несмотря на то, что предсказания как квантовой теории, так и общей теории относительности были подтверждены строгими и повторяющимися эмпирическими данными, их абстрактные формализмы противоречат друг другу, и их оказалось чрезвычайно трудно включить в одну непротиворечивую связную модель. Гравитацией можно пренебречь во многих областях физики элементарных частиц, поэтому объединение общей теории относительности и квантовой механики не является насущной проблемой в этих конкретных приложениях. Однако отсутствие правильной теории квантовой гравитации является важной проблемой физической космологии и поиска физиками элегантной «Теории всего». Следовательно, устранение несоответствий между обеими теориями было главной целью физики 20-го и 21-го веков. Эта теория всего объединит не только модели субатомной физики, но и выведет четыре фундаментальные силы природы из одной силы или явления.

Одним из предложений для этого является теория струн, которая утверждает, что точечные частицы физики элементарных частиц заменяются одномерными объектами, называемыми струнами. Теория струн описывает, как эти струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, а её масса, заряд и другие свойства определяются колебательным состоянием струны. В теории струн одно из многих колебательных состояний струны соответствует гравитону, квантовомеханической частице, несущей силу гравитации.

Другой популярной теорией является петлевая квантовая гравитация, которая описывает квантовые свойства гравитации и, таким образом, является теорией квантового пространства-времени. Петлевая теория гравитации — это попытка объединить и адаптировать стандартную квантовую механику и стандартную общую теорию относительности. Эта теория описывает пространство как чрезвычайно тонкую ткань, «сотканную» из конечных петель, называемых спиновыми сетями. Эволюция спиновой сети во времени называется спиновой пеной. Характерным масштабом длины спиновой пены является планковская длина, приблизительно равная 1,616 × 10−35 м, поэтому длины короче планковской длины не имеют физического смысла в петлевой теории гравитации.

Философские последствия

С момента своего создания многие нелогичные аспекты и результаты квантовой механики вызвали сильные философские дебаты и множество интерпретаций. Аргументы сосредоточены на вероятностной природе квантовой механики, трудностях с коллапсом волновой функции и связанных с этим проблемах измерения, а также на квантовой нелокальности. Возможно, единственный консенсус, который существует по этим вопросам, заключается в том, что консенсуса нет. Ричард Фейнман однажды сказал: «Думаю, я могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовую механику». По словам Стивена Вайнберга, «на мой взгляд, в настоящее время нет полностью удовлетворительной интерпретации квантовой механики».

Взгляды Нильса Бора, Вернера Гейзенберга и других физиков часто объединяют в «копенгагенскую интерпретацию». Согласно этим взглядам, вероятностный характер квантовой механики — это не временное свойство, которое со временем будет заменено детерминистской теорией, а окончательный отказ от классической идеи «причинности». Бор, в частности, подчёркивал, что любое чётко определённое применение квантовомеханического формализма всегда должно ссылаться на экспериментальную установку из-за взаимодополняющего характера свидетельств, полученных в различных экспериментальных ситуациях. Интерпретации копенгагенского типа остаются популярными и в 21 веке.

Альберта Эйнштейна, одного из основателей квантовой теории, беспокоило её явное несоблюдение некоторых заветных метафизических принципов, таких как детерминизм и локальность. Давний обмен мнениями между Эйнштейном и Бором о значении и статусе квантовой механики теперь известен как дебаты Бора и Эйнштейна. Эйнштейн считал, что в основе квантовой механики должна лежать теория, явно запрещающая действие на расстоянии. Он утверждал, что квантовая механика была неполной, теория была верной, но не фундаментальной, аналогично тому, как верна термодинамика, но фундаментальной теорией, стоящей за ней, является статистическая механика. В 1935 году Эйнштейн и его сотрудники Борис Подольский и Натан Розен опубликовали аргумент о том, что принцип локальности подразумевает неполноту квантовой механики, мысленный эксперимент, позже названный парадоксом Эйнштейна — Подольского — Розена (ЭПР). В 1964 году Джон Белл показал, что принцип локальности ЭПР вместе с детерминизмом на самом деле несовместимы с квантовой механикой: они подразумевают ограничения на корреляции, создаваемые системами на расстоянии, теперь известные как неравенства Белла, которые могут нарушаться запутанными частицами. С тех пор было проведено несколько опытов, чтобы измерить эти корреляции, в результате чего оказалось, они действительно нарушают неравенства Белла и, таким образом, фальсифицируют соединение локальности с детерминизмом.

Бомовская механика показывает, что можно переформулировать квантовую механику, сделав её детерминированной, ценой явной нелокальности. Она приписывает физической системе не только волновую функцию, но и реальное положение, которое детерминистически развивается под нелокальным управляющим уравнением. Эволюция физической системы во все времена задаётся уравнением Шрёдингера вместе с ведущим уравнением; никогда не бывает коллапса волновой функции. Это решает проблему измерения.

Многомировая интерпретация Эверетта, сформулированная в 1956 году, утверждает, что все возможности, описываемые квантовой теорией, одновременно возникают в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. Это следствие исключения аксиомы коллапса волнового пакета. Все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции. В то время как мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминистическое поведение, управляемое вероятностями, потому что мы не наблюдаем мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную в каждый момент времени. Как именно это должно работать, было предметом многочисленных споров. Было предпринято несколько попыток разобраться в этом и вывести правило Борна без единого мнения о том, были ли они успешными.

Реляционная квантовая механика появилась в конце 1990-х годов как современная производная от идей копенгагенского типа, а несколько лет спустя была разработана теория квантового байесианство.

История

Квантовая механика была разработана в первые десятилетия 20-го века из-за необходимости объяснить явления, которые в некоторых случаях наблюдались раньше. Научные исследования волновой природы света начались в 17-м и 18-м веках, когда такие учёные, как Роберт Гук, Христиан Гюйгенс и Леонард Эйлер, предложили волновую теорию света, основанную на экспериментальных наблюдениях. В 1803 году английский эрудит Томас Янг описал знаменитый эксперимент с двумя щелями. Этот эксперимент сыграл важную роль в общем признании волновой теории света.

В начале 19 века химические исследования Джона Дальтона и Амедео Авогадро придали вес атомной теории материи, идее, на которой Джеймс Клерк Максвелл, Людвиг Больцман и другие построили кинетическую теорию газов. Успехи кинетической теории ещё больше укрепили веру в идею о том, что материя состоит из атомов, однако у этой теории также были недостатки, которые можно было устранить только с развитием квантовой механики. В то время как ранняя концепция атомов из греческой философии состояла в том, что они были неделимыми единицами – слово «атом» происходит от греческого «неразрезаемый» — в 19 веке были сформулированы гипотезы о субатомной структуре. Одним из важных открытий в этом отношении было наблюдение Майклом Фарадеем в 1838 году свечения, вызванного электрическим разрядом внутри стеклянной трубки, содержащей газ при низком давлении. Юлиус Плюккер, Иоганн Вильгельм Гитторф и Ойген Гольдштейн продолжили и усовершенствовали работу Фарадея, что привело к идентификации катодных лучей, которые, как обнаружил Дж. Дж. Томсон, состоят из субатомных частиц, которые впоследствии были названы электронами.

Проблема излучения чёрного тела была открыта Густавом Кирхгофом в 1859 году. В 1900 году Макс Планк выдвинул гипотезу о том, что энергия излучается и поглощается дискретными «квантами» (или энергетическими пакетами), что дало расчёт, который точно соответствовал наблюдаемым картинам излучения чёрного тела. Слово «квант» происходит от латинского, что означает «насколько велик» или «насколько». Согласно Планку, количество энергии можно рассматривать как разделённое на «элементы», размер которых (E) будет пропорционален их частоте (ν):

E = h ν   {displaystyle E=h u } ,

где h — постоянная Планка. Планк осторожно настаивал на том, что это лишь аспект процессов поглощения и испускания излучения, а не физическая реальность излучения. На самом деле он не мог выбрать считать ли свою квантовую гипотезу математическим трюком для получения правильного ответа, или значительным открытием. Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн реалистично интерпретировал квантовую гипотезу Планка и использовал её для объяснения фотоэлектрического эффекта, при котором свет, падающий на определённые материалы, может выбивать электроны из материала. Затем Нильс Бор развил идеи Планка об излучении в модель атома водорода, которая успешно предсказала спектральные линии водорода. Эйнштейн развил эту идею, чтобы показать, что электромагнитная волна, такая как свет, также может быть описана как частица (позже названная фотоном) с дискретным количеством энергии, которое зависит от его частоты. В своей статье «Квантовая теория излучения» (англ. On the Quantum Theory of Radiation) Эйнштейн расширил взаимодействие между энергией и материей, чтобы объяснить поглощение и испускание энергии атомами. Хотя в то время его общая теория относительности затмила его, в этой статье был сформулирован механизм, лежащий в основе стимулированного излучения, который стал основой лазера.

Эта фаза известна как старая квантовая теория. Старая квантовая теория, никогда не была полной и непротиворечивой, она была скорее набором эвристических поправок к классической механике . Теория теперь понимается как полуклассическое приближение к современной квантовой механике. Заметные результаты этого периода включают, помимо работ Планка, Эйнштейна и Бора, упомянутых выше, работы Эйнштейна и Петера Дебая по удельной теплоёмкости твёрдых тел, доказательство Бора и Хендрики Йоханны ван Леувен, что классическая физика не может объяснить диамагнетизм и расширение Арнольдом Зоммерфельдом модели Бора, включающее релятивистские эффекты.

В середине 1920-х годов была разработана квантовая механика, ставшая стандартной формулировкой атомной физики. В 1923 году французский физик Луи де Бройль выдвинул свою теорию волн материи, заявив, что частицы могут проявлять волновые характеристики и наоборот. Основанная на подходе де Бройля, современная квантовая механика родилась в 1925 году, когда немецкие физики Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Йордан разработали матричную механику, а австрийский физик Эрвин Шрёдингер изобрёл волновую механику. Борн представил вероятностную интерпретацию волновой функции Шрёдингера в июле 1926 года. Таким образом, возникла целая область квантовой физики, что привело к её более широкому признанию на Пятой Сольвеевской конференции в 1927 году.

К 1930 году квантовая механика была дополнительно унифицирована и формализована Давидом Гильбертом, Полом Дираком и Джоном фон Нейманом с большим упором на измерение, статистическую природу нашего знания о реальности и философские рассуждения о «наблюдателе». С тех пор она проникла во многие дисциплины, включая квантовую химию, квантовую электронику, квантовую оптику и квантовую информатику. Она также обеспечивает полезную основу для многих особенностей современной периодической таблицы элементов и описывает поведение атомов во время химической связи и поток электронов в компьютерных полупроводниках, и поэтому играет решающую роль во многих современных технологиях. Хотя квантовая механика была создана для описания мира очень на очень маленьких масштабов, она также необходима для объяснения некоторых макроскопических явлений, таких как сверхпроводники и сверхтекучие жидкости.