» » Пучок матриц

Пучок матриц

07.03.2022


Пучок матриц — функция L ( λ ) {displaystyle L(lambda )} от комплексного аргумента, возвращающая для заданного набора ненулевых матриц A 0 , A 1 , … , A l {displaystyle A_{0},A_{1},dots ,A_{l}} комбинацию:

L ( λ ) = ∑ i = 0 l λ i A i {displaystyle L(lambda )=sum _{i=0}^{l}lambda ^{i}A_{i}} .

( l {displaystyle l} называется степенью пучка).

Частным случаем является линейный пучок матриц A − λ B {displaystyle A-lambda B,} с λ ∈ C {displaystyle lambda in mathbb {C} } (или λ ∈ R {displaystyle lambda in mathbb {R} } ), где матрицы A {displaystyle A} и B {displaystyle B} являются комплексными (или вещественными) n × n {displaystyle n imes n} -матрицами. Такой пучок кратко обозначается ( A , B ) {displaystyle (A,B)} .

Пучок называется регулярным, если имеется по меньшей мере одно значение λ {displaystyle lambda } , для которого det ( A − λ B ) ≠ 0 {displaystyle det(A-lambda B) eq 0} . Собственные значения пучка матриц ( A , B ) {displaystyle (A,B)} называются все комплексные числа λ {displaystyle lambda } , для которых det ( A − λ B ) = 0 {displaystyle det(A-lambda B)=0} (по аналогии с собственными значениями матриц). Множество собственных значений называется спектром пучка и записывается как σ ( A , B ) {displaystyle sigma (A,B)} . Также считается, что пучок имеет (одно или более) собственное значение на бесконечности, если B {displaystyle B} имеет (одно или более) нулевых собственных значений.

Если две матрицы коммутируют ( A B = B A {displaystyle AB=BA} ), то образованный ими пучок удовлетворяет одному из следующих условий:

  • состоит только из матриц, подобных диагональной,
  • не имеет матриц, подобных диагональной,
  • имеет в точности одну матрицу, подобную диагональной.

Пучки матриц играют важную роль в численных методах линейной алгебры. Задача нахождения собственных пучков называется обобщённой задачей нахождения собственных значений. Наиболее распространённым методом решения этой задачи является QZ-алгоритм, который является неявной версией QR-алгоритма для решения связанной задачи собственных значений B − 1 A x = λ x {displaystyle B^{-1}Ax=lambda x} без явного формирования матрицы B − 1 A {displaystyle B^{-1}A} (что может быть невозможно или плохо обусловлено, если B {displaystyle B} вырождена или почти вырождена).