» » Симплекс

Симплекс

16.01.2022


Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплекса.

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин A i {displaystyle A_{i}} :

Δ = { ∑ i = 0 n t i A i : ( ∑ i = 0 n t i = 1 ) ∧ ( ∀ i t i ⩾ 0 ) } . {displaystyle Delta =left{sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:left(sum _{i=0}^{n}t_{i}=1 ight)wedge (forall i;t_{i}geqslant 0) ight}.}

Связанные определения

  • Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса).
  • Остовом симплекса называется множество всех его вершин.
  • Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины.
  • Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса.
  • Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одну и ту же ориентацию (под ориентированным 0-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»).
  • Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество арифметического пространства R n + 1 {displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} , определяемое как

Δ n = { ( t 0 , … , t n ) : ( ∑ i = 0 n t i = 1 ) ∧ ( ∀ i t i ⩾ 0 ) } . {displaystyle Delta ^{n}=left{(t_{0},dots ,t_{n}):left(sum _{i=0}^{n}t_{i}=1 ight)wedge (forall i;t_{i}geqslant 0) ight}.}

Его вершинами являются точки

e0 = (1, 0, …, 0), e1 = (0, 1, …, 0), … en = (0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс Δ с координатами вершин ( v 0 , v 1 , … , v n ) {displaystyle (v_{0},v_{1},dots ,v_{n})} :

( t 0 , … , t n ) ↦ ∑ i t i v i . {displaystyle (t_{0},dots ,t_{n})mapsto sum _{i}t_{i}v_{i}.}

Значения t i {displaystyle t_{i}} для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатами.

Свойства

  • n-мерный симплекс имеет n + 1 {displaystyle n+1} вершин, любые k + 1 {displaystyle k+1} из которых образуют k-мерную грань.
    • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту ( n + 1 k + 1 ) . {displaystyle { binom {n+1}{k+1}}.}
    • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно n + 1 {displaystyle n+1} .
  • Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле V = 1 n ! det ( v 1 − v 0 , v 2 − v 0 , … , v n − v 0 ) . {displaystyle V={frac {1}{n!}}det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},dots ,v_{n}-v_{0}).}
    • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер: V 2 = ( − 1 ) n − 1 2 n ( n ! ) 2 | 0 1 1 1 … 1 1 0 d 01 2 d 02 2 … d 0 n 2 1 d 10 2 0 d 12 2 … d 1 n 2 1 d 20 2 d 21 2 0 … d 2 n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 d n 0 2 d n 1 2 d n 2 2 … 0 | , {displaystyle V^{2}={frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{egin{vmatrix}0&1&1&1&dots &11&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&dots &d_{0n}^{2}1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&dots &d_{1n}^{2}1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&dots &d_{2n}^{2}vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots 1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&dots &0end{vmatrix}},}
где d i j = | v i − v j | {displaystyle d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|} — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.
  • Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен n + 1 n ! ⋅ 2 n / 2 {displaystyle {frac {sqrt {n+1}}{n!cdot 2^{n/2}}}} .
  • Радиус R {displaystyle R} описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению ( R ⋅ V ) 2 = T , {displaystyle (Rcdot V)^{2}=T,}
где V {displaystyle V} — объём симплекса, и T = ( − 1 ) n 2 n + 1 ( n ! ) 2 | 0 d 01 2 d 02 2 … d 0 n 2 d 10 2 0 d 12 2 … d 1 n 2 d 20 2 d 21 2 0 … d 2 n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ d n 0 2 d n 1 2 d n 2 2 … 0 | . {displaystyle T={frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{egin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&dots &d_{0n}^{2}d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&dots &d_{1n}^{2}d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&dots &d_{2n}^{2}vdots &vdots &vdots &ddots &vdots d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&dots &0end{vmatrix}}.}

Построение

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранника.

Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

  • 0-симплекс (точка) — 1 вершина;
  • 1-симплекс (отрезок) — 2 вершины;
  • 2-симплекс (треугольник) — 3 вершины;
  • 3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

  • В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
  • Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
  • Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
  • Описанная сфера

    Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.

    Доказательство

    Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудалённые от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

    Построим 2-сферу s0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок АВ был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s0, то, увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С, можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s0, то подогнать окружность под эту точку можно, увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками А и В. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно отрезка АВ.

    Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n − 1)-сфера Sn−1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

    x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x n − 1 2 = r 2 . ( 1 ) {displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}.qquad (1)}

    Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, hS) и радиусом R, причём

    R 2 = r 2 + h S 2 . {displaystyle R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.}

    Уравнение этой сферы

    x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x n − 1 2 + ( x n − h S ) 2 = r 2 + h S 2 , {displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}-h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},}

    или

    x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x n − 1 2 = r 2 − x n 2 + 2 x n h S . ( 2 ) {displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}-x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.qquad (2)}

    Подставив в уравнение (2) xn = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом hS сфера Sn−1 является подмножеством сферы Sn, а именно — её сечением плоскостью xn = 0.

    Предположим, что точка С имеет координаты (x1, x2, x3, ..., xn ). Преобразуем уравнение (2) к виду

    x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x n − 1 2 + x n 2 = r 2 + 2 x n h S {displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}}

    и подставим в него координаты точки С:

    X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 + ⋯ + X n − 1 2 + X n 2 = r 2 + 2 X n h S . {displaystyle X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.}

    Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния RC от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

    R C 2 = r 2 + 2 X n h S , {displaystyle R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},}

    откуда можно выразить параметр hS:

    h S = R C 2 − r 2 2 X n . {displaystyle h_{S}={frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.}

    Очевидно, что hS существует при любых RC, Xn и r, кроме Xn = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы Sn−1, всегда можно найти такой параметр hS, что на сфере Sn c центром (0, 0, 0, ..., hS) будут лежать и сфера Sn−1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n + 1 точек можно описать n-сферу, если n из этих точек лежат на одной (n − 1)-сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n − 1)-плоскости.

    Рассуждая по индукции, можно утверждать, что n-сферу можно описать вокруг любых n + 1 точек, если они не лежат в одной (n − 1)-плоскости.

    Число граней симплекса

    Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

    Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

    Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса

    K ( L , n ) = C n + 1 L + 1 , {displaystyle K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},}

    где C n k {displaystyle C_{n}^{k}} — число сочетаний из n по k.

    В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

    K ( 0 , n ) = K ( n − 1 , n ) = n + 1. {displaystyle K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.}

    Соотношения в правильном симплексе

    Для правильного n-мерного симплекса обозначим:

    • a {displaystyle a} — длина стороны;
    • H n {displaystyle H_{n}} — высота;
    • V n {displaystyle V_{n}} — объём;
    • R n {displaystyle R_{n}} — радиус описанной сферы;
    • r n {displaystyle r_{n}} — радиус вписанной сферы;
    • α n {displaystyle alpha _{n}} — двугранный угол.

    Тогда

    • H n = a n + 1 2 n = R n n + 1 n {displaystyle H_{n}=a{sqrt {frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{frac {n+1}{n}}}
    • V n = a n n ! n + 1 2 n = R n n n ! ( n + 1 n ) n {displaystyle V_{n}={frac {a^{n}}{n!}}{sqrt {frac {n+1}{2^{n}}}}={frac {R_{n}^{n}}{n!}}{sqrt {left({frac {n+1}{n}} ight)^{n}}}}
    • R n = a n 2 ( n + 1 ) {displaystyle R_{n}=a{sqrt {frac {n}{2(n+1)}}}}
    • r n = a 2 n ( n + 1 ) = R n n {displaystyle r_{n}={frac {a}{sqrt {2n(n+1)}}}={frac {R_{n}}{n}}}
    • cos ⁡ α = 1 n {displaystyle cos alpha ={frac {1}{n}}}
    • R n = H n n n − 1 {displaystyle R_{n}=H_{n}{frac {n}{n-1}}}
    • a 2 = H n 2 + R n − 1 2 {displaystyle a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}}
    • V n = 1 n V n − 1 H n {displaystyle V_{n}={frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}}
    • r n 2 = R n 2 − R n − 1 2 {displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}}

    Формулы для правильного симплекса

    Симплексы в топологии

    Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства).