» » Закон Био — Савара — Лапласа

Закон Био — Савара — Лапласа

17.11.2021


Закон Био — Савáра — Лапласа (также Закон Био — Савáра) — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Установлен экспериментально Био и Саваром и сформулирован в общем виде Лапласом.

Согласно этому закону, магнитная индукция в вакууме, создаваемая пространственным распределением плотности тока j ( r ) {displaystyle mathbf {j} (mathbf {r} )} , в точке с радиус-вектором r 0 {displaystyle mathbf {r} _{0}} составляет (в СИ)

B ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ [   j d V ,   r 0 − r   ] | r 0 − r | 3 {displaystyle mathbf {B} (mathbf {r} _{0})={mu _{0} over 4pi }int {frac {[ mathbf {j} dV, mathbf {r} _{0}-mathbf {r} ]}{|mathbf {r} _{0}-mathbf {r} |^{3}}}} ,

где d V {displaystyle dV} — элемент объёма, а интегрирование производится по всем областям, где j ( r ) ≠ 0 {displaystyle mathbf {j} (mathbf {r} ) eq 0} (вектор r {displaystyle mathbf {r} } соответствует текущей точке при интегрировании). Имеется также формула для вектор-потенциала магнитного поля A {displaystyle mathbf {A} } .

Роль закона Био — Савара — Лапласа в магнитостатике аналогична роли закона Кулона в электростатике. Он широко используется для расчёта магнитного поля по заданному распределению токов.

В современной методологиии закон Био — Савара — Лапласа, как правило, рассматривается как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля.

Закон Био — Савара в разных случаях

Закон Био — Савара служит для вычисления магнитного поля токов в вакууме. Он также может использоваться в случае среды с координатно-независимой магнитной проницаемостью μ {displaystyle mu } (тогда μ 0 {displaystyle mu _{0}} всюду заменяется на μ 0 μ {displaystyle mu _{0}mu } ). Но при наличии неоднородного магнетика формулы неприменимы, так как для получения B {displaystyle mathbf {B} } в интегрирование нужно было бы включать и токи проводимости, и молекулярные токи, а последние заранее неизвестны.

Для текущих по тонкому проводу токов

Пусть постоянный ток I {displaystyle I} течёт по контуру (проводнику) γ {displaystyle gamma } , находящемуся в вакууме, r 0 {displaystyle mathbf {r} _{0}} — точка, в которой ищется поле. Тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе единиц СИ)

B ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ γ I [ d r × ( r 0 − r ) ] | r 0 − r | 3 {displaystyle mathbf {B} (mathbf {r} _{0})={mu _{0} over 4pi }int limits _{gamma }{frac {I[dmathbf {r} imes (mathbf {r} _{0}-mathbf {r} )]}{|mathbf {r} _{0}-mathbf {r} |^{3}}}} ,

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r {displaystyle mathbf {r} } — положение точек контура γ {displaystyle gamma } , d r {displaystyle dmathbf {r} } — вектор элемента контура (ток течёт вдоль него); μ 0 {displaystyle mu _{0}} — магнитная постоянная.

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

A ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ γ I ( r ) d l | r 0 − r | {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} _{0})={mu _{0} over 4pi }int limits _{gamma }{frac {I(mathbf {r} )dmathbf {l} }{|mathbf {r} _{0}-mathbf {r} |}}} .

Контур γ {displaystyle gamma } может иметь ветвления. В таком случае под выражением, приведённым выше, следует понимать сумму по ветвям, слагаемое для каждой ветви является интегралом выписанного вида. Для простого (неветвящегося) контура (и при выполнении условий магнитостатического приближения, подразумевающих отсутствие накопления зарядов), ток I {displaystyle I} одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла.

Если взять за точку отсчёта ту точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то r 0 = 0 {displaystyle mathbf {r} _{0}=0} и формула немного упрощается:

d B → = μ 0 4 π I [ r → × d r → ] r 3 {displaystyle d{vec {B}}={mu _{0} over 4pi }{frac {I[{vec {r}} imes d{vec {r}}]}{r^{3}}}} ,

где r → {displaystyle {vec {r}}} — вектор, описывающий кривую проводника с током I {displaystyle I} , r {displaystyle r} — модуль r → {displaystyle {vec {r}}} , d B → {displaystyle d{vec {B}}} — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника d r → {displaystyle d{vec {r}}} .

Направление d B {displaystyle dmathbf {B} } перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы d l ≡ d r {displaystyle dmathbf {l} equiv dmathbf {r} } и r − r 0 {displaystyle mathbf {r} -mathbf {r} _{0}} . Направление вектора магнитной индукции может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта даёт направление d B {displaystyle dmathbf {B} } , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора d B {displaystyle dmathbf {B} } определяется выражением (в системе СИ)

d B = μ 0 4 π I d l sin ⁡ α r 2 , {displaystyle dB={mu _{0} over 4pi }{frac {Idlsin alpha }{r^{2}}},}

где α {displaystyle alpha } — угол между вектором r − r 0 {displaystyle mathbf {r} -mathbf {r} _{0}} (радиус-вектором, проведённым от элемента проводника d l ≡ d r {displaystyle dmathbf {l} equiv dmathbf {r} } к точке, в которой ищется поле) и элементом d l ≡ d r {displaystyle dmathbf {l} equiv dmathbf {r} } проводника.

Пример расчёта

Найдём магнитное поле в центре кольцевого витка радиуса R {displaystyle R} с током I {displaystyle I} . Совместим начало отсчёта с точкой, где ищется индукция. Радиус-вектор r → {displaystyle {vec {r}}} элемента тока, создающего поле (элемента дуги кольца), запишется как r → = R e → r {displaystyle {vec {r}}=R{vec {e}}_{r}} , где e → r {displaystyle {vec {e}}_{r}} — единичный вектор в плоскости кольца, направленный от центра. Элемент дуги записывается как d r → = d l → = d l e → φ {displaystyle d{vec {r}}=d{vec {l}}=dl,{vec {e}}_{varphi }} , где e → φ {displaystyle {vec {e}}_{varphi }} — единичный касательный вектор к окружности. По формуле Био — Савара,

d B → = μ 0 4 π I [ r → × d r → ] r 3 = μ 0 4 π I [ R e → r × d l e → φ ] R 3 = μ 0 I 4 π R 2 d l e → z {displaystyle d{vec {B}}={frac {mu _{0}}{4pi }}{frac {I[{vec {r}} imes d{vec {r}}]}{r^{3}}}={frac {mu _{0}}{4pi }}{frac {I[R{vec {e}}_{r} imes dl,{vec {e}}_{varphi }]}{R^{3}}}={frac {mu _{0}I}{4pi R^{2}}}dl,{vec {e}}_{z}} ,

поскольку e → r × e → φ = e → z {displaystyle {vec {e}}_{r} imes {vec {e}}_{varphi }={vec {e}}_{z}} — единичный вектор вдоль оси кольца. Для нахождания поля, создаваемого всем кольцом, а не отдельным элементом, нужно проинтегрировать. Результат:

B → = d B → = μ 0 I e → z 4 π R 2 ∫ d l = μ 0 I 2 R e → z {displaystyle {vec {B}}=d{vec {B}}={frac {mu _{0}I{vec {e}}_{z}}{4pi R^{2}}}int dl={frac {mu _{0}I}{2R}},{vec {e}}_{z}} ,

так как интеграл равен просто длине окружности 2 π R {displaystyle 2pi R} .

Для поверхностных и объёмных токов

Для случая, когда источником магнитного поля являются объёмно-распределённые токи (A/м2), характеризуемые зависящим от координат вектором плотности тока j {displaystyle mathbf {j} } , формула закона Био — Савара для магнитной индукции и формула для вектор-потенциала принимают вид (в системе СИ)

B ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ [   j d V ,   r 0 − r   ] | r 0 − r | 3 , A ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ j ( r ) d V | r 0 − r | {displaystyle mathbf {B} (mathbf {r} _{0})={mu _{0} over 4pi }int {frac {[ mathbf {j} dV, mathbf {r} _{0}-mathbf {r} ]}{|mathbf {r} _{0}-mathbf {r} |^{3}}},qquad mathbf {A} (mathbf {r} _{0})={mu _{0} over 4pi }int {frac {mathbf {j} (mathbf {r} )dV}{|mathbf {r} _{0}-mathbf {r} |}}} ,

где d V {displaystyle dV} — элемент объёма, а интегрирование производится по всему пространству (или по всем его областям, где j = j ( r ) ≠ 0 {displaystyle mathbf {j} =mathbf {j} (mathbf {r} ) eq 0} (вектор r {displaystyle mathbf {r} } соответствует текущей точке при интегрировании (положению элемента d V {displaystyle dV} ).

Для случая, когда источником магнитного поля является ток i {displaystyle mathbf {i} } (А/м), текущий по некоей поверхности,

B ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ [   i d S ,   r 0 − r   ] | r 0 − r | 3 , A ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ i ( r ) d S | r 0 − r | {displaystyle mathbf {B} (mathbf {r} _{0})={mu _{0} over 4pi }int {frac {[ mathbf {i} dS, mathbf {r} _{0}-mathbf {r} ]}{|mathbf {r} _{0}-mathbf {r} |^{3}}},qquad mathbf {A} (mathbf {r} _{0})={mu _{0} over 4pi }int {frac {mathbf {i} (mathbf {r} )dS}{|mathbf {r} _{0}-mathbf {r} |}}} ,

где d S {displaystyle dS} — элемент площади токонесущей поверхности, по которой и выполняется интегрирование.

Логическое место закона в магнитостатике

В современном изложении учения об электромагнетизме закон Био — Савара — Лапласа обычно позиционируется как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля — и выводится из них математическими преобразованиями. В этой логике уравнения Максвелла выступают как более фундаментальные, постулируемые утверждения (в том числе потому, что формулу Био — Савара нельзя просто обобщить на общий случай полей, зависящих от времени).

Однако исторически появление закона Био — Савара предшествовало уравнениям Максвелла и входило в экспериментальную базу для формулирования последних. Предвестниками установления этого закона явились опыты Ампера по изучению силового взаимодействия проводников с током. Это силовое взаимодействие может быть описано вообще без упоминания словосочетания «магнитное поле», но постепенно была выработана трактовка взаимодействия токов как взаимодействия одного тока с полем, создаваемым другим током, согласно равенствам:

d 2 F → 12 = μ 0 I 1 I 2 4 π ⋅ d l → 2 × [ d l → 1 × ( r → 2 − r → 1 ) ] | r → 1 − r → 2 | 3 = I 2 d l → 2 × d B → 1 ( r → 2 ) {displaystyle d^{2}{vec {F}}_{12}={frac {mu _{0}I_{1}I_{2}}{4pi }}cdot {frac {d{vec {l}}_{2} imes [d{vec {l}}_{1} imes ({vec {r}}_{2}-{vec {r}}_{1})]}{|{vec {r}}_{1}-{vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{vec {l}}_{2} imes d{vec {B}}_{1}({vec {r}}_{2})} ,

где r → 1 {displaystyle {vec {r}}_{1}} и r → 2 {displaystyle {vec {r}}_{2}} — радиус-векторы элементов длины проводников d l → 1 {displaystyle d{vec {l}}_{1}} и d l → 2 {displaystyle d{vec {l}}_{2}} , а d 2 F → 12 {displaystyle d^{2}{vec {F}}_{12}} — сила действия элемента d l → 1 {displaystyle d{vec {l}}_{1}} (создающего поле d B → 1 ( r → 2 ) {displaystyle d{vec {B}}_{1}({vec {r}}_{2})} в точке r → 2 {displaystyle {vec {r}}_{2}} ) на элемент d l → 2 {displaystyle d{vec {l}}_{2}} . По факту, при этом «магнитное поле» выделилось в самостоятельную физическую сущность, и встал вопрос об определении именно поля, а не силы. В этих работах в 1820 году приняли участие Био и Савар, а общую формулу для поля предложил Лаплас. Он же показал, что с помощью закона Био — Савара можно вычислить поле движущегося точечного заряда (считая движение одной заряженной частицы током). В логике того времени первичным является именно этот закон.

С формальной точки зрения в случае магнитостатики оба подхода можно считать равноправными, то есть в этом смысле то, что из них объявить исходными положениями, а что следствиями, зависит от выбора аксиоматизации, который для магнитостатики может быть тем или другим с равным правом и практически равным удобством. Но, как сказано выше, ныне доминирует подход, базирующийся на уравнениях Максвелла.

Закон Био — Савара — Лапласа можно вывести и другим способом, используя лоренцевское преобразование компонент тензора электромагнитного поля из движущейся системы отсчёта, где есть только электрическое поле некоторой системы зарядов, в неподвижную систему отсчёта. При этом оказывается, что магнитное поле в законе Био — Савара определяется с относительной неточностью, по порядку величины равной v 2 / c 2 {displaystyle v^{2}/c^{2}} , где c {displaystyle c} — скорость света, v {displaystyle mathbf {v} } — дрейфовая скорость заряженных частиц, входящая в плотность тока j → {displaystyle {vec {j}}} .

В практическом аспекте, для вычислений, закон Био — Савара — Лапласа играет в магнитостатике ту же роль, что закон Кулона в электростатике.

Вывод закона из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СИ)

rot B = μ 0 j , div B = 0 {displaystyle operatorname {rot} ,mathbf {B} =mu _{0}mathbf {j} ,qquad operatorname {div} ,mathbf {B} =0} rot E = 0 , div E = ε 0 − 1 ρ {displaystyle operatorname {rot} ,mathbf {E} =0,qquad operatorname {div} ,mathbf {E} =varepsilon _{0}^{-1} ho } ,

где j {displaystyle mathbf {j} } — плотность тока в пространстве, ε 0 {displaystyle varepsilon _{0}} — электрическая постоянная, ρ {displaystyle ho } — плотность заряда. Электрическое и магнитное поля при этом оказываются независимыми.

Воспользуемся векторным потенциалом A {displaystyle mathbf {A} } для магнитного поля ( B = rot A {displaystyle mathbf {B} =operatorname {rot} ,mathbf {A} } ). Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие: div A = 0 {displaystyle operatorname {div} ,mathbf {A} =0} . Раскрывая двойной ротор в уравнении для rot B {displaystyle operatorname {rot} ,mathbf {B} } по формуле векторного анализа, получим для потенциала A {displaystyle mathbf {A} } уравнение типа уравнения Пуассона:

Δ A = − μ 0 j . {displaystyle Delta mathbf {A} =-mu _{0}mathbf {j} .}

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

A ( r 0 ) = μ 0 4 π ∫ j ( r ) | r − r 0 | d V {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} _{0})={frac {mu _{0}}{4pi }}int {frac {mathbf {j} (mathbf {r} )}{|mathbf {r} -mathbf {r} _{0}|}}dV} .

Тогда магнитное поле определяется интегралом

B = rot A = μ 0 4 π ∫ [ ∇ 1 | r − r 0 | , j ( r ) ] d V = μ 0 4 π ∫ [ j ( r ) , r 0 − r ] | r − r 0 | 3 d V {displaystyle mathbf {B} =operatorname {rot} ,mathbf {A} ={frac {mu _{0}}{4pi }}int left[ abla {frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} _{0}|}},mathbf {j} (mathbf {r} ) ight]dV={frac {mu _{0}}{4pi }}int {frac {[mathbf {j} (mathbf {r} ),mathbf {r} _{0}-mathbf {r} ]}{|mathbf {r} -mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV} ,

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать полным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что j d V = I d l {displaystyle mathbf {j} dV=Imathbf {dl} } , получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.