» » Попарная независимость

Попарная независимость

28.10.2021


В теории вероятностей, попарно независимый набор случайных величин — это множество случайных величин, любая пара которых независима. Любой набор независимых в совокупности случайных величин является попарно независимым, но не все попарно независимые наборы являются независимыми в совокупности. Попарно независимые случайные величины с конечной дисперсией не являются коррелированными.

На практике, если это не выводится из контекста, считается, что независимость означает независимость в совокупности. Таким образом, предложение вида « X {displaystyle X} , Y {displaystyle Y} , Z {displaystyle Z} являются независимыми случайными величинами» означает, что X {displaystyle X} , Y {displaystyle Y} , Z {displaystyle Z} являются независимыми в совокупности.

Пример

Независимость в совокупности не следует из попарной независимости, как показано в следующем примере, приписываемом С. Н. Бернштейну

Пусть случайные величины X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} обозначают два независимых подбрасывания монетки. Положим 1 обозначает выпадение орла, 0 — решки. Пусть Z {displaystyle Z} — случайная величина, равная 1, если в результате ровно одного из двух подбрасываний монетки выпал орёл, и 0 в противном случае. Тогда тройка ( X , Y , Z ) {displaystyle (X,;Y,;Z)} имеет следующее вероятностное распределение:

Заметим, что распределения каждой случайной величины по отдельности равны: f X ( 0 ) = f Y ( 0 ) = f Z ( 0 ) = 1 / 2 {displaystyle f_{X}(0)=f_{Y}(0)=f_{Z}(0)=1/2} и f X ( 1 ) = f Y ( 1 ) = f Z ( 1 ) = 1 / 2 {displaystyle f_{X}(1)=f_{Y}(1)=f_{Z}(1)=1/2} . Распределения любых пар этих величин также равны: f X , Y = f X , Z = f Y , Z {displaystyle f_{X,;Y}=f_{X,;Z}=f_{Y,;Z}} , где f X , Y ( 0 , 0 ) = f X , Y ( 0 , 1 ) = f X , Y ( 1 , 0 ) = f X , Y ( 1 , 1 ) = 1 / 4. {displaystyle f_{X,;Y}(0,;0)=f_{X,;Y}(0,;1)=f_{X,;Y}(1,;0)=f_{X,;Y}(1,;1)=1/4.}

Поскольку каждое из попарных совместных распределений равно произведению соответствующих им маргинальных распределений, случайные величины являются попарно независимыми:

  • X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} независимы,
  • X {displaystyle X} и Z {displaystyle Z} независимы,
  • Y {displaystyle Y} и Z {displaystyle Z} независимы.

Несмотря на это, X {displaystyle X} , Y {displaystyle Y} и Z {displaystyle Z} не являются независимыми в совокупности, поскольку f X , Y , Z ( x , y , z ) ≠ f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) {displaystyle f_{X,;Y,;Z}(x,;y,;z) eq f_{X}(x)f_{Y}(y)f_{Z}(z)} . Для ( X , Y , Z ) = ( 0 , 0 , 0 ) {displaystyle (X,;Y,;Z)=(0,;0,;0)} левая часть равна 1/4, а правая — 1/8. При этом любая из трёх случайных величин X {displaystyle X} , Y {displaystyle Y} и Z {displaystyle Z} однозначно определяется двумя другими и равняется их сумме, взятой по модулю 2.

Обобщение

В общем случае для любого n ⩾ 2 {displaystyle ngeqslant 2} можно говорить о n {displaystyle n} -арной независимости. Идея схожа: набор случайных величин является n {displaystyle n} -арно независимым, если любое его подмножество мощности n {displaystyle n} является независимым в совокупности. n {displaystyle n} -арная независимость использовалась в теоретической информатике для доказательства теоремы о задаче MAXEkSAT.