» » Результант

Результант

19.08.2021


В математике, результантом двух многочленов P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} над некоторым полем K {displaystyle mathbb {K} } , старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

r e s ( P , Q ) = ∏ ( x , y ) : P ( x ) = 0 , Q ( y ) = 0 ( x − y ) , {displaystyle mathrm {res} (P,Q)=prod _{(x,y):,P(x)=0,,Q(y)=0}(x-y),}

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля K {displaystyle mathbb {K} } с учётом их кратностей. Для многочленов, старшие коэффициенты которых ( p {displaystyle p} и q {displaystyle q} соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

p deg ⁡ Q q deg ⁡ P . {displaystyle p^{deg Q}q^{deg P}.}

Свойства и способы вычисления

  • Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} , равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля K {displaystyle mathbb {K} } ).
  • Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
  • Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
  • r e s ( P 1 P 2 , Q ) = r e s ( P 1 , Q ) r e s ( P 2 , Q ) {displaystyle mathrm {res} (P_{1}P_{2},Q)=mathrm {res} (P_{1},Q)mathrm {res} (P_{2},Q)}
  • r e s ( P , const ) = const deg ⁡ P {displaystyle mathrm {res} (P,operatorname {const} )=operatorname {const} ^{deg P}}
  • r e s ( A P ( x ) , B Q ( x ) ) = A deg ⁡ Q B deg ⁡ P r e s ( P ( x ) , Q ( x ) ) {displaystyle mathrm {res} (AP(x),BQ(x))=A^{deg Q}B^{deg P}mathrm {res} (P(x),Q(x))}
  • Если A , C ≠ 0 , deg ⁡ ( A P ( x ) + B Q ( x ) ) = deg ⁡ ( C P ( x ) + D Q ( x ) ) = n ⩾ 1 {displaystyle A,C eq 0,deg(AP(x)+BQ(x))=deg(CP(x)+DQ(x))=ngeqslant 1} , то
r e s ( A P ( x ) + B Q ( x ) , C P ( x ) + D Q ( x ) ) = ( A D − B C ) n r e s ( P ( x ) , Q ( x ) ) {displaystyle mathrm {res} (AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x))=(AD-BC)^{n}mathrm {res} (P(x),Q(x))}
  • r e s ( P , Q ) = 0 ⇔ deg ⁡ gcd ( P , Q ) ⩾ 1 {displaystyle mathrm {res} (P,Q)=0Leftrightarrow deg gcd(P,Q)geqslant 1} , т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
  • Для многочленов P ( x ) , Q ( x ) {displaystyle P(x),Q(x)} существуют многочлены U ( x ) , V ( x ) {displaystyle U(x),V(x)} с deg ⁡ U ⩽ deg ⁡ P − 1 , deg ⁡ V ⩽ deg ⁡ Q − 1 {displaystyle deg {U}leqslant deg {P}-1,deg {V}leqslant deg {Q}-1} такие, что
r e s ( P ( x ) , Q ( x ) ) = P ( x ) V ( x ) + Q ( x ) U ( x ) {displaystyle mathrm {res} (P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x)} . Многочлены U ( x ) , V ( x ) {displaystyle U(x),V(x)} с m = deg ⁡ U , n = deg ⁡ V {displaystyle m=deg U,n=deg V} могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменен на ( x m , . . . , x , 1 , 0 , . . . , 0 ) T {displaystyle (x^{m},...,x,1,0,...,0)^{T}} для U ( x ) {displaystyle U(x)} или на ( 0 , . . . , 0 , x n , . . . , x , 1 ) T {displaystyle (0,...,0,x^{n},...,x,1)^{T}} для V ( x ) {displaystyle V(x)} .
  • Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики нуль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):
r e s ( P , Q ) = ∏ P ( x ) = 0 Q ( x ) . {displaystyle mathrm {res} (P,Q)=prod _{P(x)=0}Q(x).}