» » Свободная энергия Франка — Озеена

Свободная энергия Франка — Озеена

19.08.2021


Плотность свободной энергии Франка — Озеена (свободной энергии деформации жидкого кристалла) — величина, описывающая увеличение плотности свободной энергии жидкого кристалла, вызванное деформацией кристалла из конфигурации с однородным распределением поля директора.

Название дано в честь британского физика Фредерика Франка и шведского физика Карла Озеена, внёсших большой вклад в изучение жидких кристаллов.

Нематический жидкий кристалл

Плотность свободной энергии деформации нематического жидкого кристалла представляет меру увеличения плотности свободной энергии из-за отклонений ориентации директора от однородной. Следовательно, полную плотность свободной энергии можно записать в виде:

F T = F 0 + F d {displaystyle {mathcal {F}}_{T}={mathcal {F}}_{0}+{mathcal {F}}_{d}} ,

где F T {displaystyle {mathcal {F}}_{T}} — полная свободная энергия жидкого кристалла; F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} — свободная энергия нематика с однородно распределённым полем директора; F d {displaystyle {mathcal {F}}_{d}} — свободная энергия деформаций.

F d = 1 2 K 1 ( div ⁡ n ^ ) 2 + 1 2 K 2 ( n ^ ⋅ rot ⁡ n ^ ) 2 + 1 2 K 3 ( n ^ × rot ⁡ n ^ ) 2 {displaystyle {mathcal {F}}_{d}={frac {1}{2}}K_{1}(operatorname {div} mathbf {hat {n}} )^{2}+{frac {1}{2}}K_{2}(mathbf {hat {n}} cdot operatorname {rot} mathbf {hat {n}} )^{2}+{frac {1}{2}}K_{3}(mathbf {hat {n}} imes operatorname {rot} mathbf {hat {n}} )^{2}}

Константы K i {displaystyle K_{i}} называются постоянными Франка. Они, как правило, порядка 10 − 6 {displaystyle 10^{-6}} дин. Каждое из трёх слагаемых соответствует определённому типу деформации нематика: первое — поперечному изгибу, второе — кручению, третье — продольному изгибу. Комбинация этих слагаемых может использоваться для описания произвольной деформации жидкого кристалла. Часто бывает, что все три константы Франка являются величинами одного порядка, поэтому зачастую полагают K 1 = K 2 = K 3 = K {displaystyle K_{1}=K_{2}=K_{3}=K} . Это приближение обычно называют одноконстантным, и его часто используют, так как оно значительно упрощает выражение для свободной энергии деформации:

F d = 1 2 K ( ( div ⁡ n ^ ) 2 + ( rot ⁡ n ^ ) 2 ) = 1 2 K ∂ α n β ∂ α n β {displaystyle {mathcal {F}}_{d}={frac {1}{2}}K((operatorname {div} mathbf {hat {n}} )^{2}+(operatorname {rot} mathbf {hat {n}} )^{2})={frac {1}{2}}Kpartial _{alpha }n_{eta }partial _{alpha }n_{eta }}

К свободной энергии обычно добавляют четвёртое слагаемое, которое называется энергией седловидного изгиба и описывает поверхностное взаимодействие. Это слагаемое, впрочем, зачастую игнорируют при вычислении распределения поля директора, поскольку энергия, заключённая в объёме, гораздо больше энергии, связанной с поверхностными эффектами. Оно записывается в виде:

1 2 K 24 ∇ ⋅ ( ( n ^ ⋅ ∇ ) n ^ − n ^ ( ∇ ⋅ n ^ ) ) {displaystyle {frac {1}{2}}K_{24} abla cdot ((mathbf {hat {n}} cdot abla )mathbf {hat {n}} -mathbf {mathbf {hat {n}} } ( abla cdot mathbf {hat {n}} ))} .

Холестерический жидкий кристалл

Для жидких кристаллов, состоящих из хиральных молекул, к плотности свободной энергии деформации добавляется дополнительное слагаемое. Оно меняет знак при изменении направления директора на обратное и даётся формулой:

F C h = k 2 ( n ^ ⋅ rot ⁡ n ^ ) {displaystyle {mathcal {F}}_{Ch}=k_{2}(mathbf {hat {n}} cdot operatorname {rot} mathbf {hat {n}} )}

Множитель k 2 {displaystyle k_{2}} не зависит от степени молекулярной хиральности. Поэтому для холестерического жидкого кристалла полная свободная энергия записывается в виде:

F T = F 0 + 1 2 K 1 ( div ⁡ n ^ ) 2 + 1 2 K 2 ( n ^ ⋅ rot ⁡ n ^ + q 0 ) 2 + 1 2 K 3 ( n ^ × rot ⁡ n ^ ) 2 {displaystyle {mathcal {F}}_{T}={mathcal {F}}_{0}+{frac {1}{2}}K_{1}(operatorname {div} mathbf {hat {n}} )^{2}+{frac {1}{2}}K_{2}(mathbf {hat {n}} cdot operatorname {rot} mathbf {hat {n}} +q_{0})^{2}+{frac {1}{2}}K_{3}(mathbf {hat {n}} imes operatorname {rot} mathbf {hat {n}} )^{2}} ,

где q 0 = 2 π / P 0 {displaystyle q_{0}=2pi /P_{0}} , а P 0 {displaystyle P_{0}} есть шаг холестерической спирали.