» » Теорема Лежандра о трёх квадратах

Теорема Лежандра о трёх квадратах

10.07.2021


Теорема Лежандра о трёх квадратах утверждает, что натуральное число может быть представлено суммой трёх квадратов целых чисел

n = x 2 + y 2 + z 2 {displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}}

тогда и только тогда, когда n не представимо в виде n = 4 a ( 8 b + 7 ) {displaystyle n=4^{a}(8b+7)} , где a и b целые.

В частности, числами не представимыми суммой трёх квадратов и представимыми в виде n = 4 a ( 8 b + 7 ) {displaystyle n=4^{a}(8b+7)} являются

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... последовательность A004215 в OEIS.

История

Пьер Ферма дал критерий представимости чисел вида 3 n + 1 {displaystyle 3n+1} суммой трёх квадратов, но не привёл доказательства. Николас де Бегелин заметил в 1774 году, что всякое натуральное число не представимое в форме 8 b + 7 {displaystyle 8b+7} и в форме 4 b {displaystyle 4b} есть сумма не более трёх квадратов, но не представил удовлетворительного доказательства. В 1796 году Гаусс доказал что любое натуральное число есть сумма не более трёх треугольных чисел. Из этого следует, что 8 n + 3 {displaystyle 8n+3} сумма не более трёх квадратов. В 1797 или 1798 году Лежандр получил первое доказательство теоремы о трёх квадратах. В 1813 году, Коши заметил что теорема Лежандра эквивалентна вышеприведенной формулировке. Ранее в 1801 году Гаусс получил более общий результат, следствием которого была теорема Лежандра. В частности, Гаусс сосчитал число решений для целочисленного уравнения трёх квадратов, и одновременно дал обобщение ещё одного результата Лежандра, доказательство которого было неполным. Это, вероятно, послужило причиной ошибочных заявлений, что доказательство Лежандра было неполным и завершено Гауссом.

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теорема о трёх квадратах дают полное решение проблемы Варинга для k = 2.

Доказательства

Доказательство того, что числа n = 4 a ( 8 b + 7 ) {displaystyle n=4^{a}(8b+7)} не представимы суммой трёх квадратов несложное и вытекает из того, что любой квадрат по модулю 8 конгруэнтен 0, 1 или 4.

Существует несколько доказательств того, что остальные числа представимы суммой трёх квадратами, помимо доказательства Лежандра. Доказательство Дирихле 1850 года стало классическим. В его основе лежат три леммы:

  • Квадратичный закон взаимности,
  • Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии,
  • Класс эквивалентности тривиальной трёхчленной квадратичной формы.

Связь с теоремой о четырёх квадратах

Гаусс отметил, что теорема о трёх квадратах позволяет легко доказать теорему о четырёх квадратах. Однако доказательство теоремы о трёх квадратах намного сложнее прямого доказательства теоремы о четырёх квадратах, которая была доказана первой в 1770 году.