» » Закон дисперсии

Закон дисперсии

01.06.2021


Закон дисперсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — это функция зависимости частоты от волнового вектора:

ω = ω ( k ) . {displaystyle omega =omega (mathbf {k} ).}

Этот закон выражает связь временной и пространственной периодичности волны. Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

v ph = ω k ⋅ k k , v gr = d ω d k . {displaystyle mathbf {v} _{ ext{ph}}={frac {omega }{k}}cdot {frac {mathbf {k} }{k}},quad mathbf {v} _{ ext{gr}}={frac {domega }{dmathbf {k} }}.}

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны. Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

В связи с тем, что согласно квантовым представлениям каждой волне соответствует некоторая частица или квазичастица (и наоборот), закон дисперсии можно также записывать и для частиц. В частности, в физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией частицы (например, электрона, фонона) и его волновым вектором.

Вывод для цепочки

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой m {displaystyle m} , расстояние между ними d {displaystyle d} . Сместим n {displaystyle n} -й атом на малое расстояние u n {displaystyle u_{n}} . Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

k {displaystyle k} — волновое число; ω {displaystyle omega } — частота.

С учётом ближайших соседей

F n = − β ( u n − u n + 1 ) − β ( u n − u n − 1 ) = β ( u n + 1 − 2 u n + u n − 1 ) , {displaystyle F_{n}=-eta (u_{n}-u_{n+1})-eta (u_{n}-u_{n-1})=eta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),}

где

β {displaystyle eta } — коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для n {displaystyle n} -го атома:

m a = F ⟺ m d 2 u n d t 2 = β ( u n + 1 − 2 u n + u n − 1 ) . {displaystyle ma=Fquad Longleftrightarrow quad m{cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=eta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}).}

Пусть решение имеет вид A e i ( k d − ω t ) . {displaystyle Ae^{i(kd-omega t)}.}

Тогда

− m ω 2 = β ( e i k d + e − i k d − 2 ) = − 2 β ( 1 − cos ⁡ k d ) = − 4 β sin 2 ⁡ ( k d / 2 ) ⇒ ω = ± ω m sin ⁡ k d / 2 , {displaystyle -momega ^{2}=eta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2eta (1-cos kd)=-4eta sin ^{2}(kd/2)quad Rightarrow quad omega =pm omega _{m}sin {kd/2},}

где

ω m = 2 β m . {displaystyle omega _{m}=2{sqrt {cfrac {eta }{m}}}.}

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.