» » Символы Шёнфлиса

Символы Шёнфлиса

12.05.2021


Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечных групп симметрии, наряду с символами Германа — Могена. Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891. Могут также использоваться для обозначения пространственных групп (трёхмерной кристаллографической группы).

Обозначение точечных групп

При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:

  • Сn, циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
  • Cnv (от нем. vertical — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
  • Cnh (от нем. horisontal — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии.
  • S2n (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии. Индекс оси всегда чётный, так как при нечётном индексе зеркальная ось является просто комбинацией оси симметрии и перпендикулярной к ней плоскости, то есть Sn = Cnh для нечётного n.
  • Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
  • Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Как правило, используется только Сi (для n = 1), но иногда в литературе встречаются обозначения типа С3i, С5i.
  • Dn — является группой Сn с дополнительными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной (главной) оси.
  • Dnh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии.
  • Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.

Группа D2 иногда раньше обозначалась как V (от нем. Vierergruppe — четверная группа), а группы D2h и D2d как Vh и Vd, соответственно.

  • T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3). Добавление индекса h указывает на наличие горизонтальной плоскости и, как следствие, вертикальных плоскостей симметрии и центра инверсии. Добавление индекса d к группе T указывает на наличие диагональных плоскостей симметрии. Отличие группы Td от Th в том, что первая не содержит центра инверсии, а вторая содержит, зато Td содержит три инверсионных оси четвёртого порядка, в то время как в Th таких осей нет.
  • T, Th, Td - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
  • O, Oh - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
  • I, Ih - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).

Иногда икосаэдрические группы I и Ih обозначаются как Y и Yh.


Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице

Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.

В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D4d и D6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T, Td, Th, O и Oh составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии.

Группы с n = ∞ {displaystyle n=infty } называются предельными группами или группами Кюри. К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от нем. Kugel — шар) — группа вращений, а также группа Kh, которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы Kh. Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от англ. rotation — вращение) и Rh(3). В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) (специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).

Обозначение пространственных групп

Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп. Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D2h). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп. Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена. Например, такая таблица дана в списке пространственных групп или здесь.