» » Эллиптическая система координат

Эллиптическая система координат

14.03.2021


Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса F 1 {displaystyle F_{1}} и F 2 {displaystyle F_{2}} обычно берутся точки − c {displaystyle -c} и + c {displaystyle +c} на оси X {displaystyle X} декартовой системы координат.

Основное определение

Эллиптические координаты ( μ , ν ) {displaystyle (mu ,; u )} обычно определяются по правилу:

{ x = c c h μ cos ⁡ ν y = c s h μ sin ⁡ ν {displaystyle left{{egin{matrix}x=c,mathrm {ch} ,mu cos u y=c,mathrm {sh} ,mu sin u end{matrix}} ight.}

где μ ⩾ 0 {displaystyle mu geqslant 0} , ν ∈ [ 0 , 2 π ) {displaystyle u in [0,;2pi )} .

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

x 2 c 2 c h 2 μ + y 2 c 2 s h 2 μ = cos 2 ⁡ ν + sin 2 ⁡ ν = 1 {displaystyle {frac {x^{2}}{c^{2},mathrm {ch} ^{2},mu }}+{frac {y^{2}}{c^{2},mathrm {sh} ^{2},mu }}=cos ^{2} u +sin ^{2} u =1}

показывает, что линии уровня μ {displaystyle mu } являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

x 2 c 2 cos 2 ⁡ ν − y 2 c 2 sin 2 ⁡ ν = c h 2 μ − s h 2 μ = 1 {displaystyle {frac {x^{2}}{c^{2}cos ^{2} u }}-{frac {y^{2}}{c^{2}sin ^{2} u }}=mathrm {ch} ^{2},mu -mathrm {sh} ^{2},mu =1}

показывает, что линии уровня ν {displaystyle u } являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат ( μ , ν ) {displaystyle (mu ,; u )} равны

H μ = H ν = c ( c h μ sin ν ) 2 + ( s h μ cos ν ) 2 = c s h 2 μ + sin 2 ⁡ ν . {displaystyle H_{mu }=H_{ u }=c{sqrt {(mathrm {ch} ,mu ,sin , u )^{2}+(mathrm {sh} ,mu ,cos , u )^{2}}}=c{sqrt {mathrm {sh} ^{2},mu +sin ^{2} u }}.}

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

H μ = H ν = c 1 2 ( c h 2 μ − cos ⁡ 2 ν ) . {displaystyle H_{mu }=H_{ u }=c{sqrt {{frac {1}{2}}(mathrm {ch} ,2mu -cos 2 u }}).}

Элемент площади равен:

d S = c 2 ( s h 2 μ + sin 2 ⁡ ν ) d μ d ν , {displaystyle dS=c^{2}(mathrm {sh} ^{2},mu +sin ^{2} u ),dmu ,d u ,}

а лапласиан равен

∇ 2 Φ = 1 c 2 ( s h 2 μ + sin 2 ⁡ ν ) ( ∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2 ) . {displaystyle abla ^{2}Phi ={frac {1}{c^{2}(mathrm {sh} ^{2},mu +sin ^{2} u )}}left({frac {partial ^{2}Phi }{partial mu ^{2}}}+{frac {partial ^{2}Phi }{partial u ^{2}}} ight).}

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля Φ ( μ , ν ) {displaystyle Phi (mu ,; u )} записывается:

g r a d Φ = 1 H μ ∂ Φ ∂ μ e μ + 1 H ν ∂ Φ ∂ ν e ν , {displaystyle mathrm {grad} ,Phi ={frac {1}{H_{mu }}}{frac {partial Phi }{partial mu }}mathbf {e} _{mu }+{frac {1}{H_{ u }}}{frac {partial Phi }{partial u }}mathbf {e} _{ u },}

где

e μ = c ( s h μ cos ⁡ ν , c h μ sin ⁡ ν ) {displaystyle mathbf {e} _{mu }=c(mathrm {sh} ,mu cos u ,,mathrm {ch} ,mu sin u )} , e ν = c ( − c h μ sin ⁡ ν , s h μ cos ⁡ ν ) {displaystyle mathbf {e} _{ u }=c(-mathrm {ch} ,mu sin u ,,mathrm {sh} ,mu cos u )} .

Другое определение

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат ( σ , τ ) {displaystyle (sigma ,; au )} :

{ σ = c h μ τ = cos ⁡ ν {displaystyle left{{egin{matrix}sigma =mathrm {ch} ,mu au =cos u end{matrix}} ight.}

Таким образом, линии уровня σ {displaystyle sigma } являются эллипсами, а линии уровня τ {displaystyle au } являются гиперболами. При этом

τ ∈ [ − 1 , 1 ] , σ ⩾ 1. {displaystyle au in [-1,;1],quad sigma geqslant 1.}

Координаты ( σ , τ ) {displaystyle (sigma ,; au )} имеют простую связь с расстояниями до фокусов F 1 {displaystyle F_{1}} и F 2 {displaystyle F_{2}} . Для любой точки на плоскости

{ d 1 + d 2 = 2 c σ d 1 − d 2 = 2 c τ {displaystyle left{{egin{matrix}d_{1}+d_{2}=2csigma d_{1}-d_{2}=2c au end{matrix}} ight.}

где d 1 , d 2 {displaystyle d_{1},;d_{2}} — расстояния до фокусов F 1 , F 2 {displaystyle F_{1},;F_{2}} соответственно.

Таким образом:

{ d 1 = c ( σ + τ ) d 2 = c ( σ − τ ) {displaystyle left{{egin{matrix}d_{1}=c(sigma + au )d_{2}=c(sigma - au )end{matrix}} ight.}

Напомним, что F 1 {displaystyle F_{1}} и F 2 {displaystyle F_{2}} находятся в точках x = − c {displaystyle x=-c} и x = + c {displaystyle x=+c} соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

{ x = c σ τ y 2 = c 2 ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) {displaystyle left{{egin{matrix}x=csigma au y^{2}=c^{2}(sigma ^{2}-1)(1- au ^{2})end{matrix}} ight.}

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат ( σ , τ ) {displaystyle (sigma ,; au )} равны:

h σ = c σ 2 − τ 2 σ 2 − 1 ; {displaystyle h_{sigma }=c{sqrt {frac {sigma ^{2}- au ^{2}}{sigma ^{2}-1}}};} h τ = c σ 2 − τ 2 1 − τ 2 . {displaystyle h_{ au }=c{sqrt {frac {sigma ^{2}- au ^{2}}{1- au ^{2}}}}.}

Элемент площади равен

d A = c 2 σ 2 − τ 2 ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) d σ d τ , {displaystyle dA=c^{2}{frac {sigma ^{2}- au ^{2}}{sqrt {(sigma ^{2}-1)(1- au ^{2})}}},dsigma ,d au ,}

а лапласиан равен

∇ 2 Φ = 1 c 2 ( σ 2 − τ 2 ) [ σ 2 − 1 ∂ ∂ σ ( σ 2 − 1 ∂ Φ ∂ σ ) + 1 − τ 2 ∂ ∂ τ ( 1 − τ 2 ∂ Φ ∂ τ ) ] . {displaystyle abla ^{2}Phi ={frac {1}{c^{2}(sigma ^{2}- au ^{2})}}left[{sqrt {sigma ^{2}-1}}{frac {partial }{partial sigma }}left({sqrt {sigma ^{2}-1}}{frac {partial Phi }{partial sigma }} ight)+{sqrt {1- au ^{2}}}{frac {partial }{partial au }}left({sqrt {1- au ^{2}}}{frac {partial Phi }{partial au }} ight) ight].}

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.