Линейность по параметрам — свойство экономических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения (с точки зрения оценки параметров) как линейные модели.
Определение
Модель g 0 ( y ) = f ( x , b ) + ε {displaystyle g_{0}(y)=f(x,b)+varepsilon } называется линейной по параметрам b {displaystyle b} , если функция регрессии f ( x , b ) {displaystyle f(x,b)} обладает свойством:
∀ j ∂ f ∂ b j = g j ( x ) {displaystyle forall j~~{frac {partial f}{partial b_{j}}}=g_{j}(x)}
где g 0 , g j {displaystyle g_{0},g_{j}} — некоторые (вообще говоря — нелинейные) функции, не содержащие неизвестных параметров
Поскольку вторые и более высокого порядка производные по параметрам равны в этом случае нулю, то разложение функции регрессии в ряд Тейлора по параметрам приводит к следующему линейному представлению:
f ( x , b ) = ∑ j = 1 k b j g j ( x ) + ε {displaystyle f(x,b)=sum _{j=1}^{k}b_{j}g_{j}(x)+varepsilon }
Если обозначить z 0 = g 0 ( y ) , z j = g j ( x ) {displaystyle z_{0}=g_{0}(y)~,~z_{j}=g_{j}(x)} , то получаем обычную линейную регрессию относительно новых переменных.
z 0 = ∑ j = 1 k b j z j + ε {displaystyle z_{0}=sum _{j=1}^{k}b_{j}z_{j}+varepsilon }
Линеаризация
Многие нелинейные модели можно представить в форме, линейной по параметрам. Соответствующий процесс преобразования модели называется линеаризацией. Для линеаризации может использоваться логарифмирование и иные приёмы. Пусть имеется следующая нелинейная модель (производственная функция Кобба — Дугласа):
y = A K α L β ν {displaystyle y=AK^{alpha }L^{eta } u }
где ν {displaystyle u } — мультипликативная случайная компонента.
Логарифмируя это выражение, получим линейную по параметрам модель:
ln y = ln A + α ln K + β ln L + ln ν = a + α ln K + β ln L + ε {displaystyle ln y=ln A+alpha ln K+eta ln L+ln u =a+alpha ln K+eta ln L+varepsilon }
Важно отметить, что линеаризуемость модели связана также со способом присоединения случайной компоненты в исходной модели. Например, модель y = A K α L β + ε {displaystyle y=AK^{alpha }L^{eta }+varepsilon } линеаризовать нельзя. Часто случайную ошибку присоединяют специально именно таким образом, чтобы модель можно было линеаризовать.
Примеры
Полиномиальная модель
y = ∑ j = 0 k b j x j + ε {displaystyle y=sum _{j=0}^{k}b_{j}x^{j}+varepsilon }
Полиномиальные модели используются для предварительной аппроксимации данных исходя из известной теоремы о приближении любых функций полиномами.
Логарифмическая регрессия
ln y = ∑ j = 1 k b j ln x j + ε {displaystyle ln y=sum _{j=1}^{k}b_{j}ln x_{j}+varepsilon }
Это модель с постоянной эластичностью зависимой переменной по факторам.
Обратная линейная модель
1 y = ∑ j = 0 k b j 1 x j + ε {displaystyle {frac {1}{y}}=sum _{j=0}^{k}b_{j}{frac {1}{x_{j}}}+varepsilon }