» » Теория Эйнштейна — Картана

Теория Эйнштейна — Картана

14.01.2021


Теория Эйнштейна — Картана (ЭК) была разработана как расширение общей теории относительности, внутренне включающее в себя описание воздействия на пространство-время кроме энергии-импульса также и спина материальных полей. В теории ЭК вводится аффинное кручение, а вместо псевдоримановой геометрии для пространства-времени используется геометрия Римана — Картана. В результате от метрической теории переходят к аффинной теории пространства-времени. Результирующие уравнения для описания пространства-времени распадаются на два класса. Один из них аналогичен общей теории относительности, с тем отличием, что в тензор кривизны включены компоненты с аффинным кручением. Второй класс уравнений задаёт связь тензора кручения и тензора спина материи и излучения. Получаемые поправки к общей теории относительности в условиях современной Вселенной настолько малы, что пока не видно даже гипотетических путей для их измерения.

Состояние теории и её основные уравнения

Теория Картана стоит особняком среди альтернативных теорий гравитации как потому, что она неметрическая, так и потому, что она очень старая. Состояние теории Картана неясно. Уилл (1986) утверждает, что все неметрические теории противоречат Эйнштейновскому принципу эквивалентности (ЭПЭ), и поэтому должны быть отброшены. В одной из последующих работ Уилл (2001) смягчает это утверждение, разъясняя экспериментальные критерии тестирования неметрических теорий на удовлетворение ЭПЭ. Мизнер, Торн и Уилер (1973) утверждают, что теория Картана является единственной неметрической теорией, проходящей все экспериментальные тесты, а Турышев (2007) приводит эту теорию в списке удовлетворяющих всем текущим экспериментальным ограничениям.

Картан (1922, 1923) предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна, введя модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной связностью, ассоциированной с метрикой, но не обязательно симметричной. Антисимметричная часть связности — тензор кручения — связывается в этой теории с плотностью внутреннего момента импульса (спина) материи. Независимо от Картана, похожие идеи развивали Сиама, Киббл и Хейл в промежутке от 1958 до 1966 года.

Исходно теория была развита в формализме дифференциальных форм, но здесь она будет изложена на тензорном языке. Лагранжева плотность гравитации в этой теории формально совпадает с таковой ОТО и равняется скаляру кривизны:

L = 1 16 π G R ( Γ , g ) , {displaystyle L={1 over 16pi G}R(Gamma ,g);,}

однако введение кручения модифицирует связность, которая теперь не равняется символам Кристоффеля, а равна их сумме с тензором конторсии

Γ ν λ μ = { ν λ   μ   } + K ν λ μ , {displaystyle Gamma _{ u lambda }^{mu }=left{{^{ mu }_{; u lambda ;}} ight}+K_{ u lambda }^{mu };,} K μ ν λ = Q μ ν λ + Q λ ν μ + Q ν λ μ , Q μ ν λ = 1 2 ( Γ μ ν λ − Γ μ λ ν ) , {displaystyle K_{mu u lambda }=Q_{mu u lambda }+Q_{lambda u mu }+Q_{ u lambda mu },qquad Q_{mu u lambda }={frac {1}{2}}(Gamma _{mu u lambda }-Gamma _{mu lambda u });,}

где Q μ ν λ {displaystyle Q_{mu u lambda };} — антисимметричная часть линейной связности — кручение. Предполагается, что линейная связность является метрической, что снижает количество степеней свободы, присущих неметрическим теориям. Уравнения движения этой теории включают 10 уравнений для тензора энергии-импульса, 24 уравнения для канонического тензора спина и уравнения движения материальных негравитационных полей:

R μ ν − 1 2 g μ ν R + 4 B [ α β μ B β ] α ν + 2 B β α μ B ν β α − B μ β α B ν β α − {displaystyle R_{mu u }-{frac {1}{2}}g_{mu u }R+4{B^{[alpha }}_{eta mu }{B^{eta ]}}_{alpha u }+2B_{eta alpha mu }{B_{ u }}^{eta alpha }-B_{mu eta alpha }{B_{ u }}^{eta alpha }-} − 1 2 g μ ν ( 4 B α β [ λ B α λ β ] + B α β γ B α β γ ) = κ T μ ν , {displaystyle -{frac {1}{2}}g_{mu u }(4{{B_{alpha }}^{eta }}_{[lambda }{B^{alpha lambda }}_{eta ]}+B_{alpha eta gamma }B^{alpha eta gamma })=kappa T_{mu u };,} Q λ μ ν + δ μ λ Q ν − δ ν λ Q μ = κ s λ μ ν , {displaystyle {Q^{lambda }}_{mu u }+{delta _{mu }}^{lambda }Q_{ u }-{delta _{ u }}^{lambda }Q_{mu }=kappa {s^{lambda }}_{mu u };,} ∂ L ∂ ϕ A + ( ∇ λ − 2 Q λ ) ∂ L ∂ ∇ λ ϕ A = 0 , {displaystyle {frac {partial L}{partial phi _{A}}}+( abla _{lambda }-2Q_{lambda }){frac {partial L}{partial abla _{lambda }phi _{A}}}=0;,}

где T μ ν = δ δ g μ ν ( − g L m ) {displaystyle T_{mu u }={frac {delta }{delta g^{mu u }}}({sqrt {-g}}L_{m});} — метрический тензор энергии-импульса материи, s μ ν λ = δ L m δ Q λ μ ν {displaystyle s_{mu u }^{lambda }={frac {delta L_{m}}{delta Q_{lambda }^{mu u }}};} — канонический тензор спина, B λ μ ν = Q λ μ ν + δ μ λ Q ν − δ ν λ Q μ {displaystyle {B^{lambda }}_{mu u }={Q^{lambda }}_{mu u }+{delta _{mu }}^{lambda }Q_{ u }-{delta _{ u }}^{lambda }Q_{mu };} , а Q μ = Q λ μ λ {displaystyle Q_{mu }={Q^{lambda }}_{mu lambda };} — след тензора кручения.

Кривизна пространства-времени при этом — не риманова, но на римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану ОТО. Эффекты неметричности в данной теории являются настолько малыми, что ими можно пренебречь даже в нейтронных звёздах. Единственной областью сильных расхождений оказывается, возможно, очень ранняя Вселенная. Привлекательной чертой этой теории (и её модификаций) является возможность получения несингулярных решений типа «отскока» для Большого Взрыва (см. Минкевич и соавт. (1980)).