» » Тождество Поллачека — Спитцера

Тождество Поллачека — Спитцера

19.12.2020


Тождество Поллачека — Спитцера — тождество, связывающее характеристическую функцию сумм независимых случайных величин.

Формулировка

При | z | < 1 {displaystyle |z|<1} , I m λ ⩾ 0 {displaystyle Imlambda geqslant 0} справедливо тождество: ∑ n = 0 ∞ z n M e λ S n ¯ = exp ⁡ f ∑ k = 1 ∞ z k k M e i λ m a x ( 0 , S k ) g {displaystyle sum _{n=0}^{infty }z^{n}Me^{lambda {overline {S_{n}}}}=exp {mathcal {f}}sum _{k=1}^{infty }{frac {z^{k}}{k}}Me^{ilambda max(0,S_{k})}{mathcal {g}}}

Пояснения

В формулировке теоремы f ξ k g {displaystyle {mathcal {f}}xi _{k}{mathcal {g}}} последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим S n = ∑ k = 1 n ξ k , S 0 = 0 {displaystyle S_{n}=sum _{k=1}^{n}xi _{k},S_{0}=0} , а S n ¯ = max ( 0 , ξ n ) = max ( 0 , S 1 , . . . , S n ) {displaystyle {overline {S_{n}}}=max(0,xi _{n})=max(0,S_{1},...,S_{n})} . Тождество связывает характеристическую функцию S n ¯ {displaystyle {overline {S_{n}}}} с характеристическими функциями max ( 0 , S n ) {displaystyle max(0,S_{n})} .