» » Формулы Виета

Формулы Виета

19.12.2020


Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

История

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.

Формулировка

Если c 1 , c 2 , … , c n {displaystyle c_{1},c_{2},ldots ,c_{n}} — корни многочлена

x n + a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + … + a n {displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ldots +a_{n}}

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты a 1 , … , a n {displaystyle a_{1},ldots ,a_{n}} выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

a 1 = − ( c 1 + c 2 + … + c n ) , a 2 = c 1 c 2 + c 1 c 3 + … + c 1 c n + c 2 c 3 + … + c n − 1 c n , a 3 = − ( c 1 c 2 c 3 + c 1 c 2 c 4 + … + c n − 2 c n − 1 c n ) ,     ⋮ a n − 1 = ( − 1 ) n − 1 ( c 1 c 2 … c n − 1 + c 1 c 2 … c n − 2 c n + … + c 2 c 3 . . . c n ) , a n = ( − 1 ) n c 1 c 2 … c n . { extstyle {egin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+ldots +c_{n}),a_{2}&=c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+ldots +c_{n-1}c_{n},a_{3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),&~~vdots a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}ldots c_{n-2}c_{n}+ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),a_{n}&=(-1)^{n}c_{1}c_{2}ldots c_{n}.end{aligned}}}

Иначе говоря, ( − 1 ) k a k {displaystyle (-1)^{k}a_{k}} равно сумме всех возможных произведений из k {displaystyle k} корней.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

a 0 x n + a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + … + a n , {displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ldots +a_{n},}

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a 0 {displaystyle a_{0}} (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

a k a 0 = ( − 1 ) k ∑ 1 ⩽ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ⩽ n c i 1 c i 2 … c i k , k = 1 , 2 , … , n . {displaystyle {frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}sum _{1leqslant i_{1}<i_{2}<cdots <i_{k}leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}dots c_{i_{k}},quad k=1,2,dots ,n.}

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что a 0 = 1 {displaystyle a_{0}=1}

x n + a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + … + a n = ( x − c 1 ) ( x − c 2 ) ⋯ ( x − c n ) . {displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ldots +a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})cdots (x-c_{n}).}

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x {displaystyle x} (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Примеры

Квадратное уравнение

Если x 1 {displaystyle x_{1}} и x 2 {displaystyle x_{2}} — корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , то

{ x 1 + x 2 = − b a , x 1 x 2 = c a . {displaystyle {egin{cases}x_{1}+x_{2}=-{dfrac {b}{a}},x_{1}x_{2}={dfrac {c}{a}}.end{cases}}}

В частном случае, если a = 1 {displaystyle a=1} (приведённая форма x 2 + p x + q = 0 {displaystyle x^{2}+px+q=0} ), то

{ x 1 + x 2 = − p , x 1 x 2 = q . {displaystyle {egin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,x_{1}x_{2}=q.end{cases}}}

Кубическое уравнение

Если x 1 , x 2 , x 3 {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} — корни кубического уравнения p ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} , то

{ x 1 + x 2 + x 3 = − b a x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a x 1 x 2 x 3 = − d a {displaystyle {egin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{dfrac {b}{a}}x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={dfrac {c}{a}}x_{1}x_{2}x_{3}=-{dfrac {d}{a}}end{cases}}}

Вариации и обобщения

Из приведённого выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности K {displaystyle mathbb {K} } , если старший коэффициент многочлена равен единице K , {displaystyle mathbb {K} ,} а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для K . {displaystyle mathbb {K} .}

Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве K {displaystyle mathbb {K} } кольцо вычетов по модулю 8 и многочлен P ( x ) = x 2 − 1. {displaystyle P(x)=x^{2}-1.} Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня: 1 , 3 , 5 , 7. {displaystyle 1,3,5,7.} Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны.