Все физические явления могут быть описаны в разных пространствах: координатном, импульсном, фазовом и др. Описания математически эквивалентны, однако различаются сложностью и интуитивностью описания. В большинстве случаев, координатное пространство является интуитивно понятным и наиболее лёгким для понимания процесса, в нём протекающего, однако, в физике твёрдого тела в общем случае удобнее использовать импульсное описание.
Определение
Назовём n {displaystyle n} -мерным вектором совокупность из n {displaystyle n} чисел поля P , {displaystyle P,} эти числа — координатами вектора r → = r → ( r 1 , r 2 , … , r n ) . {displaystyle {vec {r}}={vec {r}}(r_{1},r_{2},ldots ,r_{n}).} Для определённости говорят, что данный вектор r → {displaystyle {vec {r}}} является радиус-вектором, хотя это не обязательно.
Множество n {displaystyle n} -мерных векторов, для которых определены операции:
- a → = b → ↔ { a 1 = b 1 a 2 = b 2 … a n = b n {displaystyle {vec {a}}={vec {b}};leftrightarrow ;left{{egin{matrix}a_{1}=b_{1}a_{2}=b_{2}ldots a_{n}=b_{n}end{matrix}} ight.}
- a → + b → = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ) {displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}=(a_{1}+b_{1},;a_{2}+b_{2},ldots ,a_{n}+b_{n})}
- λ ⋅ a → = ( λ ⋅ a 1 , λ ⋅ a 2 , … , λ ⋅ a n ) {displaystyle lambda cdot {vec {a}}=(lambda cdot a_{1},;lambda cdot a_{2},ldots ,lambda cdot a_{n})}
называют n {displaystyle n} -мерным арифметическим пространством или n {displaystyle n} -мерным координатным пространством P n {displaystyle P^{n}} .
Свойства
Пусть ∃ 0 → = ( 0 , 0 , … , 0 ) , a → = ( a 1 , a 2 , … , a n ) , λ ∈ R , μ ∈ R {displaystyle exists {vec {0}}=(0,0,ldots ,0),{vec {a}}=(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}),lambda in mathbb {R} ,mu in mathbb {R} }
- Ассоциативность:
- Коммутативность:
- Единственность решения уравнения:
- Существование нейтрального элемента:
- Существование противоположного вектора:
- Ассоциативность скалярного умножения:
- Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:
- Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов:
- Существование базис-векторов:
- Эти векторы линейно независимы
- Любой вектор v → = v → ( v 1 , v 2 , … , v n ) {displaystyle {vec {v}}={vec {v}}(v_{1},v_{2},ldots ,v_{n})} можно представить как v → = v 1 ⋅ v 1 → + v 2 ⋅ v 2 → + … + v n ⋅ v n → {displaystyle {vec {v}}=v_{1}cdot {vec {v_{1}}}+v_{2}cdot {vec {v_{2}}}+ldots +v_{n}cdot {vec {v_{n}}}}
Операторы в координатном пространстве
Все операторы могут быть обобщены на n {displaystyle n} -мерный случай, однако для простоты в этом разделе будут рассматриваться только трёхмерные случаи.
- Лапласиан:
- Набла:
- Векторный оператор Лапласа:
- Оператор импульса: