Сриниваса Рамануджан Айенгор (произношение (инф.); там. ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்; англ. Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar; 22 декабря 1887 — 26 апреля 1920) — индийский математик.
Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Наиболее значительна его работа совместно с Годфри Харди по асимптотике числа разбиений p(n).
Биография
Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе Ироду, Мадрасское президентство, на юге Индии, в тамильской семье. Отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасского президентства. Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты брахманов. В 1889 году он перенёс оспу, но сумел выжить и выздороветь.
В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии. В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера о синусе и косинусе и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в ВУЗ, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега С. Нараяна Ийер и будущий секретарь Индийского математического общества Р. Рамачандра Рао.
В 1913 году известный профессор Кембриджского университета Годфри Харди получил письмо от Рамануджана, в котором Рамануджан сообщал, что он не заканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди в 27-летнем возрасте Рамануджан переехал в Кембридж. Там он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.
В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана». Многие математики его времени считали Рамануджана просто экзотическим явлением, поспешившим родиться как минимум на 100 лет. А современные математики не перестают удивляться проницательности индийского гения, перепрыгнувшего в математику нашего времени.
Умер 26 апреля 1920 в одном из предместий Мадрасского президентства вскоре после возвращения в Индию. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть туберкулёз, усугублённый последствиями недоедания, истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть амёбиаз.
Научные интересы и результаты
Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.
Он нашёл несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырёх кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение e {displaystyle e} на π {displaystyle pi } :
1 + 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 + … + 1 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + … = e ⋅ π 2 {displaystyle 1+{frac {1}{1cdot 3}}+{frac {1}{1cdot 3cdot 5}}+{frac {1}{1cdot 3cdot 5cdot 7}}+{frac {1}{1cdot 3cdot 5cdot 7cdot 9}}+ldots +{frac {1}{1+displaystyle {frac {1}{1+displaystyle {frac {2}{1+displaystyle {frac {3}{1+displaystyle {frac {4}{1+displaystyle {frac {5}{1+ldots }}}}}}}}}}}}={sqrt {frac {ecdot pi }{2}}}} .Математикам хорошо известна формула вычисления числа π {displaystyle pi } , полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:
π = 9801 2 2 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( k ! ) 4 × [ 1103 + 26390 k ] ( 4 × 99 ) 4 k {displaystyle pi ={frac {9801}{2{sqrt {2}}sum limits _{k=0}^{infty }displaystyle {frac {(4k)!}{(k!)^{4}}} imes displaystyle {frac {[1103+26390k]}{(4 imes 99)^{4k}}}}}} .Уже при суммировании первых 100 элементов ( k = 100 {displaystyle k=100} ) этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.
Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:
1 − 5 ( 1 2 ) 3 + 9 ( 1 × 3 2 × 4 ) 3 − 13 ( 1 × 3 × 5 2 × 4 × 6 ) 3 + … = 2 π {displaystyle 1-5left({frac {1}{2}} ight)^{3}+9left({frac {1 imes 3}{2 imes 4}} ight)^{3}-13left({frac {1 imes 3 imes 5}{2 imes 4 imes 6}} ight)^{3}+ldots ={frac {2}{pi }}} . 1 + 9 ( 1 4 ) 4 + 17 ( 1 × 5 4 × 8 ) 4 + 25 ( 1 × 5 × 9 4 × 8 × 12 ) 4 + ⋯ = 2 3 2 π 1 2 Γ 2 ( 3 4 ) {displaystyle 1+9left({frac {1}{4}} ight)^{4}+17left({frac {1 imes 5}{4 imes 8}} ight)^{4}+25left({frac {1 imes 5 imes 9}{4 imes 8 imes 12}} ight)^{4}+cdots ={frac {2^{frac {3}{2}}}{pi ^{frac {1}{2}}Gamma ^{2}left({frac {3}{4}} ight)}}} .Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди. Доказательства этих равенств нетривиальны.
Другие формулы Рамануджана не менее изящны:
1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + … = 3 {displaystyle {sqrt {1+2{sqrt {1+3{sqrt {1+4{sqrt {1+ldots }}}}}}}}=3} . x 3 + y 3 + z 3 = w 3 {displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}} , где x = 3 a 2 + 5 a b − 5 b 2 {displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2}} y = 5 a 2 − 5 a b − 3 b 2 {displaystyle y=5a^{2}-5ab-3b^{2}} z = 4 a 2 − 4 a b + 6 b 2 {displaystyle z=4a^{2}-4ab+6b^{2}} w = 6 a 2 − 4 a b + 4 b 2 {displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2}}Признание и оценки
Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их». Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.
Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и в молитве (в индуизме: в мантра-йоге, медитации) внушает богиня Намагири Тхайяр (Махалакшми) (хинди नामगिरी), почитаемая в Намаккале (там. நாமக்கல்).
Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году Институт фундаментальных исследований Тата издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.
Понятия, связанные с именем Рамануджана
Именем Рамануджана названы математические объекты и утверждения, учебные учреждения, журналы и премии. В частности:
- Гипотеза Рамануджана
- Суммы Рамануджана
- Функция Рамануджана
- Константа Ландау—Рамануджана
- Число Рамануджана — Харди
- Тождество Роджерса — Рамануджана
- Теорема Харди — Рамануджана
- Тождество Доугалла — Рамануджана
- Графы Рамануджана
- Премия SASTRA Ramanujan
В кинематографе
Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов:
- «Рамануджан» (2014) производства Индии;
- «Человек, который познал бесконечность» (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела.
- Амита Рамануджан, героиня сериала «4исла», названная в честь математика.
- «Умница Уилл Хантинг» (1997) производства США. Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.