» » Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

16.08.2016

В прикладной сейсмологии большое практическое значение имеет гак называемая задача поверхностного слоя, Как мы видели выше» обычно грунты данной строительной площадки представляют собой систему из многих слоев пород с различными физико-механическими характеристиками и мощностями. С точки зрения оценки сейсмического воздействия, всегда возникает естественный вопрос - как влияют разные расположения слоев на уровень колебаний (усиление или ослабление) частиц на поверхности Земли. Для простоты задачи пока будем считать, что данная стройплощадка состоит из двух слоев, как это показано на рис. 2.40.
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

При этом, в отличие от вышерассмотренных задач, начало координат будем принимать на месте раздела двух слоев. Мощность поверхностного слоя обозначим через Н, его физико-механические характеристики плотность, модуль сдвига, скорость распространения волн сдвига через — ρ1, G1, v1. Будем считать, что из нижнего слоя с неограниченной мощностью и характеристиками ρ2, G2, v2 под прямым углом распространяется поперечная волна с единичной амплитудой и частотой ω:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Которая, проникая в поверхностный слой, преобразуется в новую волну с той же частотой, но с амплитудой U1:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

В свою очередь волна (2.87), отражаясь от поверхности Земли преобретает вид:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

которая в свою очередь, вновь проникая в нижний слой, преобразуется в новую волну:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Таким образом, в поверхностном (верхнем) и нижнем слоях движение частиц грунтов будет описываться уравнениями:
в поверхностном слое
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Входящие в уравнения (2.90) и (2.91) неизвестные амплитуды U1, D1 и D2 определяются из граничных условий задачи и условий неразрывности среды.
Так как поверхность Земли свободна от напряжений, будем иметь:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Условия неразрывности среды: равенства перемещений и касательных напряжений на линии раздела слоев будет:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Решая систему (2.94) для неизвестных постоянных U1, D1 и D2, соответственно получим:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Однако с целью облегчения процесса числовых операций выражения для U1 и D1 можно представить и следующим образом:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

которые удовлетворяют первому уравнению системы (2.94). Подставляя значения U1 и D1 по (2.97) во второе или третье уравнение (2.94) для D2 получим:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Окончательно для распространяющихся в поверхностном и нижнем слоях волн F1(t,x) и F2(t,x) получим:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Заменяя в (2.100) показательные функции типа еiξ тригонометрическими функциями, (2.100) примет вид:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

В (2.101) разделяя действительную и мнимую части, для действительной части получим:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Аналогичным образом на линии раздела двух слоев, принимая для волны F2(t,x) получим:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Теперь изучим зависимости амплитуд колебаний A1 и A2 в зависимости от параметров поверхностного слоя k, H и частоты издающей волны ω. Так как имеют место соотношения
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

то в вышеполученных формулах целесообразно в формулах (2.104) и (2.106) выражение ωН/v1 заменить выражением 2 π Н/λ, где λ - длина волны в поверхностном слое. Если H/λ = 0, то согласно формулам (2.104) и (2.106) получим A1=2, А2=2. Физически это означает, что или мощность поверхностного слоя H очень маленькая, или длина распространяющей волны X очень большая и волна "не замечает” слишком тонкий слой. Поэтому двухслойная среда ведет себя как однослойная, на свободной поверхности которой амплитуда вследствие отраженной волны вдвое больше, чем в падающей волне. Как видно из (2,104), если породы поверхностного слоя менее прочные, чем нижнего слоя, т.е. k<1, в поверхностном слое амплитуды колебаний A1 увеличивается* Наибольшее усиление происходит когда ωH/v1 = π/2, т.е. при ω = πv1/2H или при T = 2π/ω = 4H/v1 = T01, где T01 первый период свободных колебаний поверхностного слоя. Это означает, что наибольшее усиление колебаний происходит при резонансе, когда период падающей волны T совпадает с периодом свободных колебаний поверхностного слоя T01. В этом случае для A1 имеем
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

С другой стороны, так как велечина Н/v1 - это время прохождения падающей волны по всей глубине поверхностного слоя, то выходит, что если период падающей волны T в 4 раза больше этой продолжительности Н/v1 колебания на поверхности Земли, сильно усиливаются. При более прочных породах поверхностного слоя по сравнению с нижним слоем, т,е. при k≥1 амплитуды колебания на поверхности Земли понижаются. При этом, наибольшее понижение опять происходит, когда имеет место ωH/v1 = π/2 равенство.
В общем случае графические зависимости A1 от к по формуле (2.104) показаны на рис. 2.41.
С прикладной точки зрения большой интерес представляет также отношение амплитуд колебаний на поверхности Земли A1 и на уровне линии раздела слоев A2. Согласно формулам (2.104) и (2.106) будем иметь:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

из которой видно, что отношение A1/A2 может изменяться от 1 до ∞. Полученные формулы (2.103)-(2.109) дают возможность при любых характеристиках поверхностного слоя и частоты падающей волны определить уровень колебаний на поверхности Земли. В качестве примера определим колебания на поверхности Земли, когда нижний слой представляет собой плотные породы со скоростью v2=1000м/сек и плотностью р2=0.22т*сек2/м4. Будем принимать, что период падающей волны T с единичной амплитудой изменяется в большем диапазоне от 0.1 сек до LO сек. Мощность поверхностного слоя примем равной 30 метров. Будем рассматривать три разных варианта характеристик пород поверхностного слоя:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

На рис. 2.42 показаны зависимости A1(T), вычисленные по формуле (2.104). Как видно из рисунка, амплитуды колебаний на поверхности Земли сильно растут для поверхностных слоев с рыхлыми породами, для которых v1=200-400 м/сек; при v1=600 м/сек, т.е. при поверхностном слое из плотных пород незначительное усиление колебаний на поверхности Земли имеет место только для падающей волны с периодом 0,2; при других породах, вплоть до 1,0 сек, эффектом усиления можно пренебречь.
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Из рисунка видно, что наибольшее усиление колебаний при рыхлых породах (v1=200 м/сек) поверхностного слоя имеет место не только при совпадении периода T падающей волны с первым периодом То свободных колебаний поверхностного слоя, но и при меньших и больших от T0 значениях Т. В данном случае при v1=200 м/сек T0=0.6, а из рис, 2.41 видно, что не только при Т=0,6 сек, но и при Т=0.2 сек A1=14 (усиление в 7 раз), а при T=0,9 сек А1=6.8 (усиление в 3.4 раза). Это свидетельствует о том, что в рыхлых грунтах реальная вероятность локального усиления сейсмического эффекта значительно высока.
В табл. 2.15 приведены значения амплитуд A1 и А2 для Н=30 метрового поверхностного слоя, согласно (2.109), т.е. при
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Данные таблицы выявляют одно важное обстоятельство: для тех периодов T падающей волны, при которых на поверхности Земли возникают большие перемещения (A1), на уровне нижнего слоя они (A2) почти отсутствуют. Это означает, что для таких вариантов отраженная от поверхности Земли и вновь проникавшая в нижний слой волна гасит исходную падающую волну.
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Если потребуется определить перемещения не только на поверхности Земли, но и на любой глубине, то их можно вычислить по методам линейной интерполяции между значениями A1 и A2 по формуле
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

Например, для перемещения A10 на глубине Н1=10 м, при Н=30 м, v1=400 м/сек T0=0,4 по формуле (2.110) получим:
Задача усиления или ослабления сейсмического эффекта на поверхности земли

откуда получим А10=3,26, т.е. на этой глубине коэффициент усиления равен 1.63.