Все описанные выше аспекты формирования акселерограмм на поверхности Земли можно смоделировать математически. В самом деле, как было изложено выше (1.16), самое простое толкование землетрясения — это мгновенный разрыв среды, в результате которого происходит мгновенное вспарывание блоков с образованием их относительной подвижки (рис.2.28). После разрыва каждый блок будет совершать движение, сходное со свободными колебаниями некоторой условной консольной плиты определенной длины, вызванное начальной скоростью v у свободного конца (разрыва). На достаточном удалении от очаговой зоны (более 10 км от линии разрыва) горизонтальными деформациями глубинных пород по сравнению с деформациями верхних напластований ввиду их незначительности можно пренебречь. Верхние, близкие к поверхности Земли породы блоков не только по физико-механическим характеристикам существенно отличаются от глубинных пород, но и подвергнуты существенно меньшим сжимающим напряжениям, благодаря чему они обладают большой сдвиговой деформативностью в горизонтальных и вертикальных направлениях. Их объем незначительный по сравнению с объемом блоков.
Они неоднородны не только но глубине, но и по направлениям, горизонтальным к поверхности Земли. Поэтому при мгновенном разрыве среды эти породы будут подвергаться дополнительным инерционным перемещениям, в результате зафиксировался которых сейсмографом мы получаем сейсмограмму землетрясения на поверхности Земли. Фактически полное перемещение любой точки на поверхности Земли будет состоять из двух частей: переносного перемещения блока (подвижка) как твердого тела и инерционного перемещения приповерхностной толщи относительно блоки. Вблизи очаговой зоны будут преобладать переносные перемещения, а в удаленных зонах — относительные инерционные перемещения.
Если из тела блоков на достаточном расстоянии от разрыва выделить какую-то призматическую область с единичной шириной и глубиной Н, то она в общем случае на любом участке по длине разрыва L будет представлять собой неоднородную многослойную колонку с различными физико-механическими характеристиками. Как мы видели выше, исследования колебаний таких колонок отличается от колебаний однородной колонки только математическими трудностями. Главное отличие неоднородной системы от однородной это существенное отличие в отношениях низших и высших форм колебаний в спектрах частот свободных колебаний.
Поэтому с целью избежания сложных математических выражений и простоты задачи для выявления основных особенностей характера колебания грунтов выделенную область пока будем считать однородной. Тогда математическая постановка задачи будет заключаться в следующем: найти выражение функции перемещения u(x,t), удовлетворяющее уравнению:
условиями, где G - модуль сдвига породы, ρ - плотность, η - вязкость, H - мощность колонки, v — скорость блоков после их вспарывания. Как было отмечено ранее, величина v в зависимости от скорости вспарывания в ближней зоне изменяется в пределах 100-150 см/сек, На других расстояниях от очага значения v будут резко уменьшаться.
Решение уравнения (2.50) будем искать методом разделения переменных, представив его следующим образом:
где ui(X) - функции только координаты x, a qi(t) - функции только времени t. Подставляя (2.53) в (2.50) и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера i, получим:
Левая часть (2.55) зависит только от переменной х, а правая — только от времени t. Для тождественного выполнения равенства (2.55) необходимо, чтобы обе части были равны одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную через ρi2 получим следующие два уравнения:
Учитывая (2.56) и (2.61), для круговой частоты Pi* получим:
Для большинства горных пород ni2 ≤ pi2, поэтому в формуле (2.64)
влиянием ni в тригонометрических функциях можно пренебречь, и решение (2.63) представить в виде:
Так как условие (2.68) должно выполняться для любой точки х по высоте колонки и, кроме того, коэффициент Bi не может быть равным нулю, то должно быть
В случае неоднородной колонки функция перемещения u(x,t) будет кусочно-гладкой:
Входящие в (2.73) функции времени qi(t), как и для однородной среды, будут иметь вид (2.63).
Входящие в uk(x,t) и qi(t) неизвестные коэффициенты Aki, Bki и C1i, C2i будут определяться из уравнения (2.20), начальных условий (2.52), а собственные частоты рi = λki√Gk/ρi из трансцендентных частотных уравнений (2.22)-(2.24). Коэффициент δ1 в этом случае будет иметь вид:
Подставляя полученные значения коэффициентов Ai, Bi, C1i и C2i в решение (2.67) для перемещения u(х, t), окончательно получим:
Так как амплитуды всех гармоник (2.77) со временем сильно уменьшаются, то в формуле (2.77) при отыскании максимума можно ограничиваться 3-5 членами ряда.
Таким образом, на поверхности Земли перемещение и ускорение грунта будут представлять собой суперпозицию затухающих гармонических колебаний с периодами, равными периодам свободных колебаний (преобладающих периодов) приповерхностного слоя.
В случае неоднородной колонки» которое в действительности будет иметь место, выражения для перемещения и ускорения на поверхности Земли будет иметь аналогичный (2.77) вид. Величину коэффициента затухания ni для всех форм колебаний можно принять одинаковой и равной среднему значению от коэффициентов затухания пород разных слоев. Главное отличие будет в коэффициентах δi и в соотношениях T01/T02, Т01/Т03, ... T01/T02. Если при однородной колонке эти отношения являются нечетными числами 3, 5, 7, ... 2n-1, то при неоднородной колонке они могут быть совершенно другими в зависимости от мощностей, плотностей и модулей сдвига пород слоев и их расположения по высоте колонки. Поэтому амплитуды перемещений и ускорений по разным гармоникам будут зависеть от спектра преобладающих периодов T0i и форм колебаний неоднородно колонки uki(х). В результате этого максимальное перемещение и ускорение на поверхности Земли» которое получится в результате суммирования во времени по всем гармоникам, будет существенно зависеть от характера неоднородности колонки. В зависимости от отношения периодов первых 3-S форм колебаний моменты наступления максимальных ускорений на сейсмограммах и акселерограммах на поверхности Земли также будут сильно зависеть от характера неоднородности колонки.
Главная особенность полученных формул (2.77) заключается в том, что перемещение и ускорение грунта существенно зависят от сейсмической категории грунта. Согласно (2,77), на скальных грунтах значения ускорения будут больше, чем на рыхлых грунтах. Это явление неоднократно подтвердилось инструментально при регистрациях сильных землетрясений.
Максимальные значения перемещения u0(t) и ускорений грунта u0*(t), согласно формулам (2.77), для v=30cm/cck (IX баллов по шкале MSK-64) при учете только первого члена рядов (2.77) соответственно составят:
- для скальных грунтов с T01=0.35сек, n = 5% (δ = 0.3)
u0max = 1.96 см, u0max'' = 0.63 g,
- для рыхлых фунтов с Т01=0.8 сек, n = 3% (δ = 0.2)
u0max = 4.62, u0max'' = 0.28 g.
Если периоды колебания основания отличаются в 1, 3, 5 раз, то моменты наступления максимальных амплитуд членов ряда (2.27) во времени и по направлению (знаку δi) совпадают, что приводит к сильному росту суммарной величины (особенно ускорений). Это графически показано на рис.2.29 для ускорения u0(t), вычисленное по формуле (2.77). Поэтому при таком же значении для γ=30 см/сек с учетом трех форм колебаний для максимальных перемещений и ускорений грунта были получены:
- для скальных грунтов (Т01=0.35 сек) u0max = 2.21 см, u0max'' = 1.62 g,
- для рыхлых грунтов (Т01=0.8 сек) u0max = 5.24 см, u0max'' = 0.78 g,
Из приведенных данных видно, что и для скальных и для рыхлых грунтов учет высших форм колебаний приводит к увеличению ускорения грунта, вычисленного только по первой форме колебания соответственно в 2.57 и 2.78 раза, а для перемещения грунта - всего в 1.12 и 1.13 раза.
На рис. 2.29а показаны соответствующие сейсмограммы и акселерограммы для скальных и рыхлых грунтов, вычисленные по формулам (2.77) с учетом трех членов рядов.
Формуле (2.75) можно дать и волновую интерпретацию. Как мы отмстили выше, движение грунта на поверхности Земли во время землетрясения (сейсмограмма) - это результат суммирования неоднократно преломленных и отраженных от нижних слоев поперечных сейсмических волн, К этому выводу приводят и формулы (2.75) и (2.76). В самом деле, воспользуясь известным положением о том, что любая стоящая волна может быть заменена парой бегущих волн, так как имеет место равенство:
и наоборот, любая бегущая волна может быть представлена как пара стоящих волн с фазами, сдвинутыми на π/2, так как
где с - скорость распространения волны, формулу (2.75) в случае однородного основания, согласно (2.78), можно представить в виде:
где vs - скорость волн сдвига в однородной среде.
Формула (2.80) показывает, что перемещения на поверхности Земли, а в случае неоднородного основания также на всех слоях, представляют собой сумму множества падающих и отраженных затухающих волн с различными амлитудами и частотами.
Аналогия с колебаниями сооружений при сейсмических воздействиях. Аналогичное явление имеет место также при колебаниях надземных зданий и сооружений во время землетрясения. Kax показывают теоретические исследования, перемещения на разных уровнях зданий и сооружений, вычисленные по акселерограммам реальных землетрясений, представляют собой сумму квазигармонических колебаний с периодами, равными периодам их свободных колебаний. Наиболее наглядно это вырисовывается, если за надземное сооружение принять систему с одной степенью свободы (линейный осциллятор). В этом случае ускорение инертной массы выражается формулой
где T - период свободного колебания осциллятора (надземного сооружения), n - коэффициент затухания, a(t) - акселерограмма грунта.
На рисунке 2.30 показаны акселерограммы и графики τ(t), вычисленные по формуле (2.81) для различных T для четырех разных землетрясений (n=5%). Графики подтверждают, что периоды вычисленных по формуле (2.81) ускорений (реакции) инертной массы с достаточной точностью равны периодам свободных колебаний T осциллятора независимо от акселерограммы землетрясения. На рисунке 231 показаны графики изменения во времени перемещений и сейсмических инерционных сил (ускорений) этажей 9-этажного каркасного здания с диафрагмами жесткости с учетом трех форм свободных колебаний (T1=0,78, T2=0.26, T3=0.15 сек), вычисленных по акселерограмме землетрясения в Hollister. Их характер указывает на наличие суперпозиции по трем формам свободных колебаний бруса.
Графики изменения во времени ускорений на разных уровнях по высоте многоэтажных каменных, железобетонных и металлических зданий, мостов и высотных плотин были зарегистрированы во время ряда сильных землетрясений. В частности, в большом количестве их было зарегистрировано во время Ломо-Приетского землетрясения в Калифорнии 17 октября 1989 года. Некоторые из них приведены на рис.2.31-3.33. Синхронные акселерограммы землетрясения на грунте (Free Field) и ускорении на уровнях перекрытий 2-го и 3-го этажей трехэтажного металлического здания с размером в плане 28x76 и высотой 14,6 метров (CSMIP Station N57562, San Jose) показаны на рис. 2.32.
Как видно из рисунка, на ускорениях этажей преобладают периоды около 0.6 сек и 0.2 сек, что являются периодами свободных колебаний самого здания. На рисунке 2.32 показаны изменения ускорений перекрытий 5-го, 9-го, 12-го этажей и покрытия 14-этажного железобетонного каркасного здания с диафрагмами жесткостей (в четырех углах в плане) в Santa Rose.
Общая высота здания 40 метров, размеры в плане 26x25 метров (CSMIP Station N68489). Здесь преобладающий период - 1.25-1.30сек.
Приведем еще один характерный случай, наблюдаемый во время этого же землетрясения. На рис. 2.34 показаны ускорения перекрытий 16-го, 39-го и 44-го этажей 47-этажного здания из металлического каркаса со связями жесткости общей высотой 150м и размерами в плане 37x54м (СSMIP Station N58532).
Из рисунка видно, что преобладающие периоды записей ускорении этажей приблизительно равны 0.9-1.1 сек и 0.4-0.6, Уверенно можно считать это значение периодов 2 и 3 форм свободных колебании здания.
Период первой формы колебания зданий такой высоты, согласно Американским нормам, будет около 3.5-4.0 сек и, естественно, по этой форме ускорения здания (реакции), вызванного землетрясением, будет так мало по сравнению с ускорениями, вызванными по второй и третьей формам колебания, что их доли в общей суммарной величине ускорений на записях не будут обнаруживаться. Это утверждение подтверждается и тем, что максимальное ускорение 39 этажа (0.13g) меньше, чем максимальное ускорение 16-го этажа (0.19g). Кроме того, при внимательном осмотре записей 16-го, 39-го и 44-го этажей можно обнаружить их антифазностъ, что тоже подтверждает, что приведенные записи ускорений являются суммарной реакцией здания по второй и третьей формам его свободных колебаний.
Полноценная инструментальная информация об ускорениях грунтов и зданий различных конструктивных систем и этажностей при этом землетрясении и при землетрясении в Сан-Фернандо от 9,02.1971г. позволили выявить также очень важную с точки зрения сейсмического воздействия аспект — количественные соотношения между максимальным ускорением покрытия здания An и максимальным ускорением его фундамента (грунта) Ar. По отчетам обоих землетрясений нами были установлены такие соотношения для 22 железобетонных зданий этажностью от 5 до 25 и 8 зданий из металлических конструкций этажностью от 5 до 45. В источниках отсутствует информация о величинах периодов свободных колебаний указанных зданий. Полученные результаты в графическом виде представлены на рис. 2.35. Следует отметить, что одновременная запись ускорения грунта (фундамента) и покрытия здания при реальных сильных землетрясениях очень редкое явление и полученные результаты, по нашему мнению, имеют большое теоретическое и практическое значение, в частности, для установления максимального значения коэффициента динамичности или спектра реакции.
Как видно из приведенных результатов, минимальное значение Aп/Aг равно 1.2, максимальное - 4.1. При этом минимальное значение зарегистрировано для высотных зданий этажностью 25-45. Наиболее важный вывод из полученных результатов можно сделать такой: кок для высотных металлических зданий до 45 этажей, так и для железобетонных зданий до 25 этажей среднее значение Aп/Aг приближается к 2.5. Этот результат подтверждает достоверность максимального значения нормализованного безразмерного спектра реакции, равного 2.5, принятого в нормативных документах по сейсмостойкому строительству большинства стран мира. Отметим, что так как величины ускорений на уровне покрытий высотных зданий зарегистрированы во время реального землетрясения, то следует считать, что величины этих ускорений есть результат суперпозиции (суммирования) ускорении по нескольким формам собственных колебаний. Из этого следует второй важный вывод: в суммарной зарегистрированном величине ускорения покрытия малоэтажных зданий основную долю составило ускорение, соответствующее первой форме свободного колебания (так как периоды высших форм свободных колебаний для таких зданий очень маленькие и по ним во время землетрясений здание почти не подвергается дополнительным ускорениям), и, наоборот, в высотных зданиях основную долю зарегистрированного ускорения покрытия составляют ускорения по высшим формам свободных колебаний здания (так как период первой формы колебаний таких зданий очень большой и здания с таким периодом при землетрясениях опять не подвергаются дополнительным ускорениям). Из этих результатов вытекает с первого взгляда не очень очевидный, но в свете изложенного выше, обоснованный вывод: во время землетрясения возрастание ускорения покрытия здания по сравнению с ускорением грунта происходит почти с одинаковым коэффициентом (примерно 2,5), независимо от его этажности.
Таким образом, из вышеизложенного вырисовывается следующее упрощенное представление о передаче сейсмического воздействия от очага землетрясения до верха сооружения: сейсмические волны, распространяющиеся от очага землетрясения на поверхности Земли, генерируют колебания грунта с преобладающими периодами, равными периодам свободных колебаний приповерхностной толщи грунта, которые в свою очередь в наземном сооружении вызывают новые колебания с преобладающими периодами, равными периодам свободных колебаний самих сооружений. Это значит, что в процессе землетрясения происходит двойная фильтрация сейсмических волн — сначала в приповерхностной толще, а потом в самом сооружении.
В заключение отметим, что по интерпретации характера колебания грунта на поверхности Земли в зависимости от различных факторов в литературе доминируют разные мнения В работе Э.Фаччиоли и Д.Резендица на основании анализа реальных записей колебания грунта во время землетрясения сформулированы следующие два предположения: “Приведенные примеры показывают, что для сильных колебаний на относительно близком расстоянии от очага при стабильном поведении грунтов влияние местных грунтов условий часто оказывается не самым главным фактором” и “отсюда следует, что когда в отложениях преобладают слабые прослойки, распределение поверхностных колебаний в эпицентральном районе при сильных землетрясениях в большей мере зависит от динамики местных грунтовых условий, чем от механизма очага или характеристик волнопроводящих путей”.
- Некоторые замечания о характере движения грунтов при землетрясении
- Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания
- Периоды высших порядков неоднородного основания
- Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания
- Примеры определения значений преобладающих периодов
- Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований
- Определение преобладающих периодов по записям микроколебаний
- Преобладающие периоды колебаний при сильных движениях грунта
- Особенности сильных движений грунта
- Общие положения о колебании грунта при сильных землетрясениях