» » Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

16.08.2016

В некоторых случаях, когда параметры слоев незначительно отличаются друг от друга значение первого преобладающего периода можно вычислить и различными приближенными способами. Рассмотрим два из таких способов, получивших широкое практическое применение и в других областях теории колебаний.
1. Энергетический способ. Как известно из теории колебаний сплошной среды, при приближенных способах определения первого периода можно добиваться высокой степени точности, если принятая в качестве приближенной функции упругой линии при свободных колебаниях u(х) удовлетворяет граничным условиям задачи. В случае многослойного основания (рис.2.18) в качестве такой функции можно принимать функцию формы колебания для однородного слоя (2.10) в виде:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

где T01 - неизвестный пока период собственных колебаний. Выражение (2.37) удовлетворяет двум граничным условиям задачи, а именно: на свободной поверхности отсутствие касательного напряжения
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

на уровне коренных пород отсутствие сдвиговой деформации
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Кроме того, как мы видели выше, выражение (2.37) является точным решением (2.6) однородного основания с мощностью Н. Известно, что для консервативных систем (без учета затухания свободных колебаний) потенциальная к кинетическая энергия удовлетворяют условию:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

В среде, подвергающейся только деформации сдвига, потенциальная и кинетическая энергия будет иметь вид:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Применительно к неоднородной системе, показанной на рис.2.18, подставляя (2.37) в (2.40) и (2.41), соответственно для Пmax и Kmax получим:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Подставляя значения (2.42) в (2.40) и после несложных операций для основного периода T01, получим:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

По полученной формуле (2.43) можно вычислить преобладающий период T01 любого основания с любым количеством слоев п. Если вместо модулей упругости слоев Gk известны скорости волн сдвига слоев vsk, то в формуле (2.43) их можно заменить по следующей формуле:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Отметим одну особенность формулы (2.43). Согласно теореме Pелея, истинное значение периода первой формы колебания, те, по трансцендентным уравнениям (2.22)-(2,24), всегда больше значения периода, найденного энергетическим методом, т.е. по формуле (2.43),
2. Способ послойного суммирования. Этот способ обосновывается следующими соображениями. Как видно из (2.11) для однородного основания значение основного периода Tvi прямо пропорционально мощности слоя H и обратно - скорости волн сдвига vs. Поэтому, если мысленно представить однородное основание как состоящееся из отдельных частей, то формулу (2.11) можно интерпретировать как сумму периодов его отдельных частей. На этом основании, если мощности Hk и скорости vsk мало отличаются друг от друга, то дня такого основания общий период T01 всего основания можно приближенно принимать как сумму периодов T01k отдельных слоев, т.е.
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

где n - число слоев разреза, или окончательно
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Фромулой (2.46) пользуются во многих работах, в частности, в книге Окомото.
3. Способ осредненном скорости. Аналогично второму этот способ также применяется при незначительных отличиях в величинах скоростей воли сдвига vsk, Фактически суть способа заключается в том, что вместо отдельных значении скоростей слоев vsk можно принимать их осредиенное значения vs и пользоваться формулой для Однородного слоя с общей мощностью H = ΣHj и осредненной величиной скоростей vs. Тогда преобладающий период T01 можно вычислить по формуле
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Так как, чем больше мощность k-ого слоя Ht его влияние на общий период T01 будет больше, значение vs логичнее определить по формуле:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

где n - число всех слоев.
В случае, когда вместо vsk известны Gk и ρk, формулу (2,48) на основании (2.44) можно представить в виде:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

Такой способ определения vs, в частности, рекомендуется американской ассоциацией ‘‘Сейсмическая безопасность зданий” и французскими нормами по сейсмостойкому строительству.
Легкo убедиться, что значения T01, вычисленные по формуле (2,45) и (2.47), дадут одинаковую величину.
В самом деле, подставляя (2.48) в (2.47) получим:
Приближенные способы определения первого преобладающего периода неоднородного основания

что совпадает с формулой (2.46).
Как показал сравнительный анализ результатов по вычислению T01 для рассмотренных выше примеров по приближенным формулам (2.43) и (2.46) и по трансцендентным уравнениям (2.22)-(2.24) погрешности по приближенным формулам могут достигнуть 20-30%. Причем при применении формулы (2.43) значение T01 по сравнению с точным всегда получается в меньшую сторону, а при применении формулы (2.46) как в меньшую, так и в большую сторону.