» » Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

16.08.2016

Как видно из ранее изложенного, определение периодов свободных колебаний невозможно без применения специальных компьютерных программ и самих компьютеров. Ниже излагается упрощенный метод определения величины основного периода свободного колебания толщи без применения компьютеров. Мы предприняли попытку решить эту задачу путем последовательного приведения многослойной системы к эквивалентной двухслойной. С этой целью в трансцендентном уравнении для двухслойного основания (2.22) примем следующие обозначения (рис. 2.26):
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

где T1 и Т2 соответственно периоды основного тона свободных колебаний первого и второго слоев при условии их самостоятельного существования как однородного однослойного основания. С учетом этих обозначений уравнение (2,22) для двухслойного разреза можно представить в виде
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Следовательно, окончательное выражение для неизвестного периода i-ой формы T0i будет
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

где θ1 - корни трансцендентного уравнения (2.30) при заданных параметрах α = H1/H2 и β = T1/T2.
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Для охвата всех практически возможных случаев двухслойной толщи были вычислены корни уравнения (2.30) для следующих диапазонов параметров α и β:
0.025≤α≤100, 0.025≤β≤25

с очень маленькими интервалами. Всего было принято 91 значение для α и 64 значений для β, т.е. были вычислены все 91*64 = 5824 корни (первых трех форм колебаний) уравнение (2.30).
Таким образом, фактически, были рассчитаны корни трансцендентного уравнения для 5824 различных вариантов двухслойной толщи. Для некоторых вариантов графические зависимости T01/T1 = π/2θ1 (для первой формы колебаний) при различных а показаны на рис.2.27.
Для дальнейшего облегчения процесса вычисления T01 при практических применениях зависимость (для данного отношения α) π/2θ1 или T01/T1 от отношения β была интерполирована экспоненциальной функцией в виде:
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Значения постоянных а и b для различных а приведены в табл.2.6. При T1/T2≤10 необходимо из таблицы брать значения a1 и b1, при T1/T2≥1 - значения а2 и b2, а при 10≤T1/Т2≤25 - значения а3 и b3. Промежуточные значения коэффициентов а1, b1; а2, b2; а3, b3 по табл.2.6 определяются по линейной интерпретации. При T1/T2≥25 принимаются а=1, b=0.
Процедура определения значения основного периода колебаний для любой толщи с п слоями производится в следующей последовательности. Сначала по данным бурения или других геотехнических методов на основании мощностей слоев Hk, скоростей волн сдвига vsk или модулей сдвига Gk и плотностей ρk определяются периоды свободных колебаний каждого слоя (как однородной среды) по формуле
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Затем, сначала считается, что толща состоит только из верхних двух слоев со своими H1 и H2 и T1 и T2. По отнощениям T1/T2 для данного отношения Н1/Н2, согласно табл. 2.6, определяются значения параметров а и b и по формуле (2.32) вычисляется период свободных колебаний условной двухслойной толщи (из первых двух слоев). Этот период обозначается через T01 1-2. Далее, верхние два слоя рассматриваются как один эквивалентный слой с мощностью H1+H2 и уже вычисленным периодом T01 1-2 и его уже рассматривают с третим слоем с мощностью H3 и периодом Т3.
Аналогичным образом по отношениям T01 1-2/T3 и (H1+H2)/H3 по той же табл. 2.6 определяются новые значения параметров а и b и по той же формуле (2.32) вычисляется период свободных колебаний условной трехслойной толщи, который обозначается T01 1-3. Этот процесс продолжается для всех слоев. Полученное в последнем этапе значение периода T01 1-n и будет искомым значением основного периода свободных колебаний всей толщи с n слоями. В иной форме (с помощью масштабных графиков) такой подход был применен в работе.
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Если в каком-то k-ом этапе окажется, что T01 1-k/Tk≥25, то в качестве T01 1-k принимается:
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

В случае наличия среди слоев очень тонкого слоя с номером к, его можно объединить со следующим k+1 слоем с приведенными мощностью Hk и скоростью vsk:
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

В этом случае число слоев искусственно уменьшается на единицу.
Для иллюстрации метода рассмотрим два характерных примера. В качестве первого примера определим первый период шестислойного разреза для грунтов г. Гюмри (рис. 2.24), рассмотренного выше (пример 5.1). Пять последовательных шагов будут выглядеть следующим образом:
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

T01 1-6 = T01 = 1.846 сек.

Отметим, что для этого примера решение трансцендентного уравнения дало
T01 = 1.869 сек.

Как видим, отклонение несущественно — около 1 % в сторону уменьшения.
В качестве второго примера ниже приводится последовательность операций по вычислению T01 для 14-слойного участка Аламада Парк - Мексика (пример 6). Последовательность начальных 1, 2, 3 и последних 11,12 и 13 шагов будет выглядеть следующим образом:
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Kaк и в предыдущем примере, отклонение составляет всего около 2%. Сравнительный анализ результатов по вычислению значений основного периода T01 различных разрезов по трансцендентным уравнениям (2.22)-(2.24) и по предлагаемой методике приведен в табл. 2.7.
Упрощенный способ определения значения основного периода свободных колебаний многослойного основания

Данные таблицы подтверждают, что предлагаемый упрощенный способ обеспечивает достаточную точность при вычислении первого периода неоднородного многослойного основания, исключая раскрытие детерминантов высших порядков для получения сложных транс-цендентных уравнений и их решения с применением специальных программ и компьютеров.