» » Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

16.08.2016

Приповерхностную неоднородную толщу будем рассматривать как континиуум, состоящий из n слоев со своими физико-химическими характеристиками — плотностями ρk, модулями сдвига Gk и мощностями Нk (рис. 2.18).
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Будем считать, что неоднородный поверхностный слой общей мощностью H опирается на “грунт основания”. При вертикальном распространении поперечных волн имеется только одна горизонтальная компонента u(x,t), которая внутри каждого слоя должна удовлетворять волновому уравнению типа (1.75). Однако, учитывая то обстоятельство, что вязкие свойства среды мало влияют на периоды свободных колебаний, ими будем пренебрегать и в качестве волнового уравнения примем
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Для дальнейшего упрощения задачи нумерацию слоев будем начинать с верхнего слоя, начало координат принимать на поверхности земли и пользоваться обозначениями:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Решение уравнений (2.12) ищем в виде
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

где р — искомая круговая частота свободных колебаний неоднородной поверхностной толщи, uk(x,t) - деформация сдвига k-ого слоя.
Подставляя (2.14) в (2.12) для uk(х), получим:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

где обозначено
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Решение уравнения (2.15) ищем в виде:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Для определения 2n коэффициентов Ak и Bk и круговой частоты р имеем следующие два граничных условия:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

и 2n-2 условия равенства деформаций сдвига и напряжений на уровнях плоскостей раздела слоев, т.е.
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Подставляя (2.17) в граничные условия (2.18) и условия неразрывностей (2.19) для неизвестных 2n коэффициентов Ak и Bk получим:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Так как система уравнений (2*20) относительно 2п неизвестных коэффициентов At и однородна^ то единственное нетривиальное ее решение имеет место только при равенстве нулю детерминанта 2d степени, образованного из коэффициентов неизвестных. Это и будет искомое сложное трансцендентное частотное уравнение для определения неизвестной частоты р. При двухслойном основании это будет детерминант 4 порядка, трехслойном — 6 порядка, шестислойном 12 порядка.
Для двухслойного основания этот детерминант будет иметь вид:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

После раскрытия которого получим трансцендентное уравнение:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Аналогичным образом для трехслойного и четырехслойного основания получим:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

где приняты обозначения:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

a T0i = 2п/pi - искомый период свободных колебаний толщи по i-ой форме.
Таким образом, несмотря на кажущуюся простоту задачи, получение числовых значений частот свободных колебаний для оснований с большим числом слоев связано с большими затруднениями, которые можно преодолеть только с помощью специальных компьютерных программ. Отметим, что полученные выше точные трансцендентные уравнения позволяют вычислить не только значение основного периода, но и периоды высших форм колебаний многослойной толщи.
Так как для любого k-ого слоя скорость распространения волн сдвига выражается формулой
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

то после их подстановки в уравнения (L22)-(1.24) их можно выразить также в параметрах pk, vsk и Hk. Например, для трехслойного основания (2.23) примет следующий вид:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

При больших числах слоев с целью сокращения объема вычислений и использования частотных уравнений (2.22), (2.23) и (2.24) можно всю систему заранее привести к эквивалентным двух-, трех- или четырехслойным системам с приведенными (средними) характеристиками скоростей волн сдвига vsk, плотностей pk и мощностей Hk и пользоваться соответствующими трансцендентными уравнениями (2.22)-(2.24). Средние параметры рекомендуется определять по формулам:
Общий случай аналитического определения периодов свободных колебаний неоднородных оснований

Таким образом, характеристики k-ого слоя приведенной системы, вычисленные по (2.26), которые получаются от реальных характеристик чередующих друг друга j-m слоев от порядкового номера j до номера m. Чередующие j-m слои подбираются таким образом, чтобы их реальные характеристики мало отличались друг от друга. Это значит, что разные приведенные слои могут содержать разное количество реальных слоев.