» » Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

15.08.2016

Количество энергии, о которой шла речь в предыдущем параграфе, фактически - это кинетическая энергия сейсмических волн, распространяющихся в теле Земли после землетрясения, т.к. ее мы определили через магнитуду, а магнитуду установили по величине зарегистрированного перемещения частиц (сейсмограмму) на поверхности Земли. Вместе с этим, принимая, как это было отмечено выше, землетрясение как внезапный разрыв среды из-за превышения величин упругих напряжений предела прочности пород, необходимо предполагать, что этот разрыв подготавливался длительный промежуток времени, и течение которого в среде постепенно накапливалось определенное количество энергии. Эта энергия и есть потенциальная энергия среды или энергия деформации. Она фактически представляет собой нею (полную) энергию, накопленную в среде до начала землетрясения в обоих сторонах от фактического разрыва. Эту полную энергию после высвобождения в результате землетрясения разделяют на энергию сейсмических ноли, о которой речь шла выше, и на тепловую энергию трения по разрыву или дроблению вмещающих пород. По количественным отношениям энергии сейсмических волн к тепловым в сейсмологии еще нет обоснованных представлений.
По мнению ряда специалистов, во время землетрясения значительная часть упругой потенциальной энергии переходит в энергию сейсмических волн. Здесь многое зависит от коэффициента трения скольжения. Отношение двух видов энергии для разных землетрясений в принципе должно быть разным. Это отношение сильно зависит от механизма вспарывания пород и ориентации плоскости разрыва. Ряд специалистов (Джеффрис, Амбрезис, Маккензи, Брун) считают, что если для сильных землетрясений напряжение трения превышает определенную величину, то по плоскостям разрыва должно происходить плавление. По расчетам Д. Тёркота и Дж. Шуберта, для плавления пород значение напряжения τ должно быть около 180 МПа, что значительно велико для обычных землетрясений. Наибольшая вероятность такого землетрясения, когда холодная континентальная плита вталкивается в горячую мантию, т.е. в зоне субдукции. Ho упоминания о таких явлениях в литературе очень редки.
В общем случае полная потенциальная энергия, накопленная в упругой среде, выражается следующим образом:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

где σij, τij и εij, γij - компоненты соответственно напряжения (нормальных и касательных) и деформации, V - объем напряженно-деформированной среды.
Поставим следующую задачу. Как определить полную потенциальную энергию (1.111) после землетрясения, имея его последствия на поверхности Земли: длина разрыва L, глубина разрыва h и относительная подвижка по линии простирания разрыва u.
Нa рис. 1.50 показано схематическое распределение напряженно-деформированного состояния среды до и после образования разрыва и касательных напряжений у разрыва и перпендикулярном к разрыву направлении, где τТ - предельное касательное напряжение разрушения пород, обычно доходящего от 50 до 150 кг/см2.
Естественно, в первом приближении, предполагать что напряженно-деформированное состояние среды в обоих областях налево и направо от будущего разрыва имеют одинаковый характер.
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Наиболее существенным параметром этих областей является глубина проникновения H (в перпендикулярном к разрыву направлении) ощутимых касательных напряжений и деформаций в параллельном направлении по простиранию разрыва. Будем считать, что напряженно-деформированное состояние вокруг будущего разлома на поверхности Земли имеет вид, показанный на рис. 1.50в заштрихованной областью, ограниченной некоторой замкнутой кривой С. Таким образом, считаем, что вне области С напряжения и деформации среды значительно малы и поэтому при определении общей потенциальной энергии ими можно пренебречь. Из рисунка видно, что область ощутимых напряжений и деформаций, ограниченной кривой С, можно заменить эквивалентной прямоугольной областью со сторонами 2Н и L, показанными пунктирными линиями. Иными словами, будем считать, что до начала землетрясения напряженно-деформированное состояние среды было распределено в двух прямоугольных параллелепипедах со сторонами L, H и h, где h - глубина разрыва (размер блока по глубине рис. 1.50б), L -длина свершившегося разрыва на поверхности Земли, H - минимальное расстояние от разлома, дальше которого среду можно считать не напряженным от подготавливаемого землетрясения. Предположим, что в последней стадии подготовки землетрясения каждый из этих двух параллелепипедов имел деформацию, равную u/2, а после разрыва -относительную деформацию, равную u. Относительная подвижка по длине разрыва обычно имеет неравномерное распределение. Поэтому целесообразно в качестве величины подвижки для всей длины разлома L принимать некоторое среднее значение u. Для ряда,, сильных землетрясений такое вычисление u было произведено в работе Д.Л. Веллса и К.Н. Коппершмидта, по мнению которых именно по величине средней подвижки u имеет место постоянный относительный сдвиг по всей ширине L и глубине h спаренных плоскостей разрыва.
Границы областей деформирования вокруг разрыва. Теперь рассмотрим вопрос определения пределов областей ощутимых деформаций в процессе подготовки землетрясения до самой последней стадии, после чего происходит разрыв.
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Как отметили выше, впервые измерение таких деформаций с помощью геодезической тринагуляции, произведенной до и после землетрясения, были получены Ридом для Калифорнийского землетрясения. Много таких графических зависимостей для десятка японских и американских землетрясений приведено и работе по прогнозированию землетрясений Т.Рикитаке.
Для трех землетрясений такие зависимости, заимствованные из вышеупомянутой работы, показаны на рис. 1.51. Они дают возможность иметь определенное суждение о степени количественного убывания величины деформации по мере удаления от линии разрыва в перпендикулярном к нему направлении. На основании этих и других аналогичных результатов, приведенных в той же книге, предлагается следующая аналитическая зависимость для расстояния глубины ощутимых деформаций H (в метрах) от среднего относительного перемещения (подвижки) на разрыве u (в метрах):
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Согласно (1.112), если допустим, что относительная средняя подвижка блоков равна u=1 м, то на расстоянии H = 10в3 (5*1+15) = 20км от разлома в ту и другую сторону по всей длине разлома L, то есть вне площади L*2Н, перемещение среды до образования разрыва (равно как и после образования разрыва-землетрясения) считается равным нулю; при u=2м, Н=25км. Соотношение (1.112) применимо только для сильных землетрясений, при которых на поверхности Земли образовался разрыв с относительной подвижкой не менее 10см, чтобы точность ее измерения в полевых условиях не играла существенной роли. Естественно предполагать, что предлагаемая зависимость (1.112) для отдельных землетрясений может привести к результатам, существенно отличающимся от регистрированных реальных результатов. Полезную роль в корректировке тaких зависимостей может играть решение модельных задач методами теории упругости. В книге K.Kacaxapa, на основании решения задач теории упругости для модели вертикального разлома со смещением по простиранию, представляющего собой бесконечно длинную полосу, пересекающую поверхность упругого полупространства, находящегося в условиях однородного сдвига (решение Л.Кнопова), приводится зависимость перемещения и на поверхности Земли в направлении простирания разрыва от координаты х в перпендикулярном направлении в виде:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

где μmax - максимальная амплитуда подвижки бортов разрыва, D - вертикальная протяженность разлома (глубина разрыва b). Максимальная подвижка umax связана с другими параметрами следующим образом:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

где Δσ означает сброс напряжений при образовании разрыва, G - модуль сдвига.
Убывающая зависимость (1.113) позволяет оценить величину проникновения ощутимых деформаций Н. Так, если ограничивать пространством, для которого перемещения меньше α umax (α ≤ 1) считать фактически отсутствующими, где α - отношение перемещения по формуле (1.113) на расстояние х=Н от разрыва и(Н) к максимальному перемещению у разрыва u(0) в точке х=0, то из (1.113), получим
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

При α=0.2 и глубине очага D=h=10 км для H по формуле (1.115) получим Н=24км. Для разных значений α и h значения H приведены в табл. 1.12.
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

В приложении упомянутой работы Касахара для территории Японии приводится также формула для определения радиуса области деформирования r (в км) в зависимости от магнитуды M землетрясения в виде:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

по которой также можно иметь представление о вышеупомянутой глубине H ощутимых деформаций. По этой формуле для землетрясений с магнитудами М=6, М=7 и М=8 соответственно получим r = 6км, 20км и 64км. Результаты вычисления значений H для 44 землетрясений с параметрами Ms, h, u по табл. 1.13 по трем формулам (1.112), (1.113) и (1.116) показали, что величины II отличаются не более чем 2 раза, что можно считать приемлемыми по аналогии в такими оценками при установлении величии других сейсмологических параметров: магнитуда, интенсивность, энергия очага и др.
Потенциальная энергия деформации. Теперь, имея значения средней подвижки u, длину разрыва L, его глубину h и протяженность ощутимых деформаций Н, вычислим потенциальную энергию по формуле (1.111). Если принимать, что область L*2H подвергалась чистому сдвигу, будем иметь:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Производя операцию интегрирования получим, следующую несложную формулу
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Значение энергии Ed по формуле (1.118) было вычислено также принимая за функцию убывания перемещений u(х) по выражению (1.113). В этом случае для Ed будем иметь:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Как показали вычисления, выражения в квадратных скобках при условии (1.115) между H и D независимо от а равно 0.43D. Таким образом, для Ed в этом случае имеем:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Сравнение этого значения со значением Ed по основной формуле (1.121) показывает, что при α = 0.17 (11-2.86D) они полностью совпадают. При других значениях α (() ≤ α ≤ 0.2) различие между значениями Еd по (формулам (1.121) и (1.124) не превышает 10-15%.
При самой простой прямолинейной зависимости функции перемещения и виде:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

что отличается от Ed по формуле (1.121) всего на 15%. Таким образом, при заданном u и H характер убывающей функции перемещения u(х) не играет существенной роли при определении величины потенциальной энергии.
Воспользуясь формулой (1.121), вычислим значение E для Спитакского землетрясения 1988 года по следующим параметром:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Для Спитакского землетрясения с магнитудой М=6.8 получим
ks = 1.5 * 6.8 + 4.8 = 15.

Как видим, разница величин энергетических классов по формуле (1.126) и (1.127) несущественная.
Аналогичным образом для 44 сильных землетрясений по формулам (1.126) и (1.127) вычислены значения kd и ks, приведенные в табл. 1.13.
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Все данные табл. 1.13 заимствованы из статьи Д.Веллса и К.Коппершмидта, в которой обобщены макросейсмические параметры очаговых зон 244 сильных землетрясений за 1853-1993 годы. Мы использовали только те землетрясения, для которых в статье имелись все три параметра (L, h, u), которые позволяют привести вычисление энергии по формуле (1.121). Основное заключение из полученных результатов состоит в том, что величины энергии, вычисленные по предлагаемой формуле (1.121), в основном подчиняются общеизвестным закономерностям, согласно которым величина высвобожденной энергии растет с ростом протяженности образовавшегося на поверхности разрыва L, глубины разрыва h и относительной подвижки спаренных блоков u. Эти зависимости графически изображены на рис. 1.53. Соответствующие их формулы имеют вид (Ed - в джоулях, L и h в км, u - в м):
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Из последнего графика, приведенного на рис. 1.53 видно, что значения энергетических классов, рассмотренных землетрясений, вычисленные по предлагаемой формуле (1.126), и соответствующие их магнитуды Ms связаны линейной зависимостью
kd = 1.79Ms + 2.16,

которая свидетельствует о том, что и по предлагаемому способу определения энергии, как и по традиционному, имеет место линейная зависимость энергии от магнитуды землетрясения. Среднее отклонение значений ks-kd по формулам (1.126) и (1.127) не превышает 0.46.
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Как видно из табл. 1.13, энергетические классы большинства землетрясений, за исключением 3-5 землетрясений с относительной подвижкой и менее чем 0.2м, вычисленные по формулам (1.126) и (1.127), имеют одинаковый порядок. Среднее их отклонение составляет 0.66 (рис. 1.54). Из рисунка видно также, что небольшое отклонение, как и следовало ожидать, имеет место для слабых землетрясений с средней подвижкой u≤0.20м; при их исключении из расчетов среднее отклонение составит около 0.5, т.е. не превышает одной единицы энергетического класса к. Так как обе формулы являются приближенными и полуэмпирическими, такое различие можно считать естественным. Например, известно, что при установлении величины магнитуды Ms возможная величина ошибки может в среднем достигать ±0.5. Это соответственно при определении к по формуле (1.127) приведет к ошибке в 1,5 раза большей, т.е. ±0.75.
С другой стороны, при выводе формулы (1.121) была принята во внимание только одна компонента подвижки по разрыву. Однако известно, что большинство землетрясений имело более сложную кинематику подвижки, поэтому вычисленные по формуле (1.121) значения энергии для таких землетрясений будут наименьшими.
Выше было отмечено, что глубину проникновении ощутимых деформаций 11 можно определить и по формуле (1.115) через глубину разрыва h. Используя значения h, приведенные в табл. 1.13, для всех 44 землетрясений были определены новые значения И, подставляя их значения в (1.124) соответствующие значения В (и эргах) и значения kd. Для коэффициента α=0.2 разность энергетических классов, вычисленная по значениям H по формулам (1.112) и (1.115), показана на рис.1.55. Как видим, среднее отклонение энергетических классов не превышает 0.2.
Остановимся на еще одном сравнительном анализе. В книге К. Kacaxapa отмечается, что, имея значения сброса напряжений Δτ (от 20 до 170 бар) по известной длине разлома, можно оценить изменение энергии деформации Ed. В ней не приводится формула, по которой можно вычислить Ed, однако в ее приложении для 6 землетрясений из 43 наряду с параметрами очагов землетрясений приводятся также значения их энергии по сейсмическим волнам Es и изменение энергии деформаций при образовании разлома.
Для трех из рассмотренных нами землетрясений NN5, 8, 11 (табл.1.13) эти параметры и соответствующие энергетические классы ks и kf, вычисленные по Es и Ed, приведены в табл. 1.14. В этой же таблице приведены для сравнения аналогичные параметры этих же землетрясений и соответствующие значения ks и kd, вычисленные по формулам (1.127) и (1.126).
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Как видно из таблицы, полученные результаты по двум землетрясениям N8 и N11 имеют хорошую сходимость. Что касается землетрясения N5, то незначительное различие между двумя результатами при расчете ks обусловлено ощутимым различием исходной магнитуды землетрясения Ms (соответственно 8.25 и 7.8), а при расчете kd - двукратным различием между исходной средней подвижкой u у разрыва (соответственно 6м и 3,3 м).
Энергии деформации у отрыва. В литературе о количестве энергии землетрясений часто дискутируется вопрос - какая часть общей энергии, высвобожденной во время землетрясения, сосредоточивается в очаговой зоне - у разрыва. Естественно предполагать, что большая часть энергии высвобождается именно у разрыва, так как именно в очаговой зоне касательные напряжения повсюду превышают допустимые предельные значения.
В простейшем случае, когда поле деформаций представлено единственной компонентой сдвига γху (как это имеет место во всех выше изложенных наших расчетах), энергия среды на единицу объема задается в виде:
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

где γт - предельная сдвиговая деформация коры.
По различным оценкам предельная деформация γт изменяется в пределах
γт = (1 + 2)10в-4.

Считается, что земная кора до этого уровня деформируется упруго, но никогда не переходит за этот предел без разрушения. По мнению ряда специалистов, это значение значительно ниже по сравнению с данными лабораторных экспериментов, дающих значение γт=10в-3. Противоречие объясняется тем, что реально кора содержит множество трещин и ослаблений, которые уменьшают макроскопическую прочность земной коры. Как образно отмечает К-Касахара, "любая цепь не прочнее своего самого слабого звена”.
Принимая G = 5*10в11 дин/см2, γт = 1,1*10в-4, по формуле (1.129) Kacaxapa получил
е = 3000 эрг/см3.

Следовательно, вся потенциальная энергия, которая накапливалась около плоскости разрыва с единичной шириной ΔН = 1см, в нашей постановке будет (L и h в см):
Ef = L*h*l*e = 3000Lh эрг,

а соответствующий энергетический класс
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Подставляя в формулу (1.130) значения L и h из табл. 1.13, были вычислены значения энepгии деформации у разрыва Er для рассмотренных 44 землетрясений и соответствующие энергетические классы kf. Сравнительная оценка отношений энергии у разрыва кf и всей энергии среды kd по табл. 1.13, покачана на рис. 1.56. Из рисунка видно, что кp/kd в среднем составляет 0.63. Образовавшиеся после землетрясения разрывы обычно не имеют одну геометрическую правильную плоскость, и представляют собой некоторое пространство разрозненных сегментов, с определенным расстоянием ΔН (а перпендикулярном к разрыву направлении) между собою.
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Это расстояние условно можно принимать как ширину разрыва и, следовательно, считать, что во всем объеме L*h*ΔH среды (очаговой зоне) до землетрясения деформации достигли предельного значения γт и, следовательно, потенциальная энергия у разрыва будет:
Ef = 3000*L*h*ΔН эрг.

Поэтому в действительности величина энергетического класса kf у очаговой зоны землетрясения будет значительно больше указанного выше 0.63kd при ΔH = 1 см. В табл. 1.15 приводятся средние значения энергетических характеристик kd/kd, kd-kf и Ed/Ef (по 44 землетрясениям), вычисленные вышеприведенным способом для значения ΔН от 1 см до 103 см. Из таблицы видно, что в зависимости от условной ширины ΔН разрыва количество энергии, высвобожденной у очаговой зоны, существенно растет с увеличением ΔН и при ΔН = 10в5 см = 1 км отношение kf/kd достигает 0.97, a Ed/Ef - 35% общей высвобожденной при землетрясении энергии.
Потенциальная энергия деформации среды в период подготовки землетрясения

Афтершоковый процесс, начинавшийся в постсейсмический период, обусловлен наличием в среде некоторой доли энергии деформации вне зоны разрыва. Поле накопления деформаций до землетрясения обычно имеет очень сложную структуру, связанную с неоднородным распределением прочностных и плотностных, характеристик пород, наличием трещин и разрывов от прошлых землетрясений. Поэтому основной толчок будет служить спусковым механизмом для последующих афтершоков (в ослабленных в прочностном отношении структурах) до нового равновесного состояния всей деформированной в предсейсмический период среды. Естественно ожидать, что очаги афтершоков в основном должны располагаться по линии главного разрыва и вокруг него. Согласно афтершоки и деформации поверхности имеют тенденцию располагаться в одной и той же области вокруг эпицентра. В свете рассмотренного выше понятия области ощутимых деформаций - это означает, что афтершоки, рассмотренных выше 44 землетрясений, будут располагаться на площади 2HL. При этом большое количество афтершоков косвенно будет свидетельствовать о наличии большого количества участков пород у ослаблением различной степени вокруг главного разрыва.