Как отмечено ранее, в общем случае волновые уравнения имеют форму (1.29) и (1.31). Теперь рассмотрим пример образования продольных и поперечных воли при простом возбуждении среды. Допустим в упругой среде установлен бесконечный щит (экран), плоскость которой совпадает с плоскостью ZY (рис. 1.37).
Будем считать, что щит резким движением совершает плоско параллельное движение по направлению оси х в интервале времени от 0 до t0. Очевидно, что в этом случае компоненты перемещения u, v, w частиц не будут зависеть от координат у и z. Естественно, что частицы среды, находящихся в передней части щита будут подвергаться сжатию, а в задней части - растяжению. Рассмотрим движение среды в более поздние моменты времени, когда вынужденное плоскопараллельное движение щита прекратилось. Поскольку в плоскопараллельном движении компоненты перемещения u, v, w не зависят от координат у и z, то будем иметь:
Следовательно, основные динамические уравнения теории упругости в перемещениях (1.27.1) примут вид:
где vp и vs соответственно скорости распространения продольных и поперечных волн. Волны, представленные уравнениями (1.34), называются простейшими плоскими волнами. При этом, как видно из уравнений, по оси X распространяется продольная P волна, а в перпендикулярной к ней плоскости по направлениям осей Y и Z две компоненты SV и SW одной и той же поперечной волны S.
На рисунке 1.37а показано фазовое пространство распространения сейсмических волн, на котором вертикальная координата представляет одно из смещений (u, v, w), а горизонтальные оси - время t и распространения х. Если в пространстве на рис. 1.37а зафиксировать какое-то расстояние хk, то получим сейсмограмму, соответствующую этому распространению Xk с разностью времен вступления волн P и S, равную:
Поскольку продольные горизонтальные движения передаются со скоростью vp, то горизонтальное продольное колебание частиц со смещением и уйдет вперед и для момента t1 достигнет расстояния vpt1, а поперечное движение, которое происходит перпендикулярно оси X и может быть представлено геометрической суммой v и w, т.е. √v2+w2 будет отставать от и и к моменту t1 достигнет расстояния vst1. Отсюда вытекает важное свойство упругих колебаний - произвольное плоскопараллельное движение щита не может распространяться по твердой упругой среде. Оно, это движение, распадается на продольное движение или колебание, характеризуемое компонентой и, и на поперечное движение - √v2+w2. В каждый момент они проходят различные расстояния и составляют продольную P и поперечную S сейсмические волны.
Как было отмечено выше, решение уравнения (1.34) распространения плоских сейсмических волн, можно представить в следующей общей форме:
где ξ - ось распространения, v - скорость распространения, a f - произвольная, дважды дифференцируемая функция. Часто возникает необходимость следить за распространением волн по таким координатным осям, направления которых не совпадают с направлением распространения волны ξ. В простом случае, когда волна происходит в плоскости zx и его направление составляет с осью х угол α (рис.1.38), выражение (1.35) представляется в виде:
Форма представления распространяющейся плоской волны (1.38) предполагает ее распространение по осям х и z со скоростями vx = v/cosα и vz = v/sinα, которые принято называть кажущимися скоростями. Эти скорости в действительности являются кажущимися, так как они удовлетворяют уравнению
сложения скоростей на плоскости.
В случае гармонических плоских волн решения (1.35) и (1.38) принимают более простой вид:
где Δ - амплитуда колебания частиц среды, а ω - угловая частота колебаний.
В теории распространения упругих воли приняты следующие обозначения:
где k - называют волновое число, λ - называется длина волны, T = 2π/ω - период колебания, v - скорость распространения волны.
В упругой среде от распространяющейся волны (1.35) на расстоянии ξ, в момент времени t возникает определенная относительная деформация, величина которой будет
где f' - производная функция f по аргументу t-ξ/v.
В случае плоской поперечной волны для относительной деформации сдвига будем иметь:
Следовательно, для определения деформации существенно упрощается, так как его можно осуществить косвенно, используя величину скорости процесса колебания, т.е. вместо сложной операции установления разности смещения Δw = w2-w1 двух точек среды можно исходить из велисограммы ∂w/∂t землетрясения в одной точке.
Для гармонической плоской поперечной волны
где А - амплитуда колебания, T - период колебания грунта, vs - скорость поперечных волн. На основании (1.42) для этого случая максимальное значение γ будет:
Горные породы толщи земной коры могут выдержать определенную деформацию сдвига, после того в среде образуются трещины сдвига. Если обозначим предельную сдвиговую деформацию среды через [γ], то из предыдущего равенства для амплитуды колебания грунта А получим:
Для нескольких землетрясений на территории Японии методом триангуляции были измерены смещения почвы в эпицентральной зоне до и после землетрясения. Они показали, что предельная деформация [γ] меняется в широких пределах - от 10в-3 до 10в-5.
При этом значение [γ] = (1/2)10в-4 считается наиболее вероятным для большинства землетрясений. Результаты лабораторных испытаний для [γ] дают значения 10в-3 и выше, что вполне очевидно, так как породы реальной коры содержат значительно больше трещин и локальных разрывов по сравнению с их лабораторными образцами.
По формуле (1.42а) можно дать оценку тем перемещениям А скальных грунтов, при которых возможны образования трещин на поверхности Земли. Для четырех вариантов скальных грунтов такие оценки максимальных перемещений А приведены в табл. 1.4.
Такие оценки для нескальных грунтов не приемлемы, так как процесс нарушения сплошности в них имеет более сложный характер. Они во время сильных землетрясений подвергаются или разжижению, или неравномерным осадкам, которые могут достигать нескольких метров. Эти явления представляют серьезную опасность для зданий и сооружений (они могут упасть без разрушения), если они рассчитаны даже на большие горизонтальные ускорения грунта.
Потенциальная энергия среды.
При распространении сейсмических волн в упругой среде накапливается потенциальная энергия деформации. Согласно (1.28), значение удельной потенциальной энергии для плоских продольных и поперечных волн соответственно получим:Таким образом, полная энергия накопленной в единице объема для любой плоской волны будет:
Так как эта энергия, обусловленная движением частицы от распространяющейся волны со скоростью vs или vp, то энергия протекающая в единицу времени через единичную площадку, которая называется также интенсивностью потока энергии будет:
В теории распространения волн выражения vp и √vp соответственно называются акустической жесткостью грунта и импендансом колебания.
По величине интенсивности потока энергии Q в какой-либо точке можно произвести оценку величины энергии упругих колебаний, излучаемых источником (очагом). Допустим, что для некоторого землетрясения, принятого в качестве эталона, определена Q*(Δ) -зависимость интенсивности потока энергии от эпицентрального расстояния А, для другого произвольного землетрясения установив свою Q(Δ) и полагая, что процессы колебаний обоих землетрясений одинаковы по характеру и продолжительности, можно вычислить отношение Q(A)/Q (А) для одного и того же эпицентрального расстояния А и оценить, во сколько раз данное землетрясение интенсивнее (в энергетическом отношении) эталонного землетрясения.
Для гармонической плоской волны (1.40) интенсивность потока энергии Q согласно (1.46) примет более простой вид:
где А - амплитуда, Т - период колебании грунта. В этом случае, как видно из (1.47), целесообразно вместо отношения Q/Q* воспользоваться отношением InQ/Q*, так в этом случае два землетрясения можно сравнить друг с другом только по величинам натуральных логарифмов InA и InA*, от их максимальных амплитуд Л и А* на сейсмограммах землетрясений с условием, что оба землетрясении зарегистрированы на скальных грунтах для исключения влияния периода Т колебания грунта. Эти свойства интенсивности потока энергии в конце концов привели к понятию оценки землетрясения по его магнитуде, па которой остановимся в дальнейшем.
Выше было рассмотрено распространение волн в идеальной упругой среде, когда энергия передается от места к месту без потерь. В действительности любая среда не является идеальной и поглощает часть энергии колебаний, превращая ее в тепло и другие ее виды. Естественно предполагать, что потеря энергии волны зависит от пройденного пути, т.е. чем большое расстояние проходит волна, тем слабее она становится. Обозначим начальную величину энергии волны через E0, а на единичном расстоянии E1. Отношение
называется коэффициентом поглощения энергии среды. На расстоянии удельное поглощение энергии будет 2γ Δξ, или
После интегрирования уравнения (1.48) в пределах от E0 до E и от 0 до ξ, получим:
Естественно потеря энергии по (1.49) приведет к уменьшению перемещений частиц среды. Поэтому величину потери энергии в среде можно характеризовать также отношением амплитуд колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии длины волны λ. В теории колебаний и распространения волн обычно пользуются не прямым отношением амплитуд, а отношением их натуральных логарифмов:
Величина δ называется декрементом затухания. Теперь установим связь между коэффициентами 8 и у. Как было укачано выше, накопленная а среде энергия (1.45) пропорциональна квадрату амплитуды колебания частиц. Вследствие справедливости следующих соотношений:
Подставляя это значение амплитуды колебания в выражение (1.50) для декремента затухания получим:
Таким образом декремент затухания равен произведению коэффициента поглащения у среды и длины волны X.
Интегральное и комплексное представление плоской волны. Изложение особенностей плоских сейсмических волн завершим их представлением через интеграл. Фурье, который имеет большое прикладное значение. Как известно, любой колебательный процесс можно представить как результат суперпозиции нескольких простых гармонических колебаний. С другой стороны, как было указано выше, в сейсмологии все регистрирующие датчики являются гармоническими колебательными системами. Следовательно, задача заключается в том, как путем суперпозиции, из этой, не имеющей ни начала ни конца процесса, построить некоторый внезапно возникающийся колебательный процесс, т.е. землетрясение. Математически это означает построить функцию, которая удовлетворяла условиям:
где A1, ωi и φi выбираются таким образом, чтобы при t-t0, члены ряда (1.53) складываясь, уничтожали друг друга или, как принято говорить математически. “интерферировались па нуль", а при t≥t0 давали искомое колебание или “интерферировались конструктивно". Бесконечный ряд (1.53) можно представить также следующим образом:
Если теперь от дискретных значений ωi и функции A(ωi) перейти к непрерывно иаменяющемуся параметру ω и функции от него А(ω), то приращение Дсо будет соответствовать приращению ΔА. Кроме того, вместо изменения А(ωi) при последовательных целочисленных значениях i можно ввести ΔA/Δω Δω. После перехода к пределу Δω→0 сумма бесконечного числа бесконечно малых множителей ΔA/Δω Δωφ (ω, t) заменится интегралом для любого [ω1, ω2] интервала:
называется спектральная плотность колебания f(t).
Отметим, что теперь ω является переменной интегрирования, a t -параметром. В результате после интегрирования получим функцию, зависящую только от времени t.
Обычно под нестациональным колебанием подразумеваем сложные непериодические колебания. Отдельные классы сложных колебаний представляют собой колебания, повторяющиеся через определенный период. Представление таких колебаний в виде суперпозиции гармонических колебаний предложено Фурье. Если функция f(t) обладает свойством
f(t) = f(t±nT),
где T - период повторения, а n — целое число, то представление Фурье для функции f(t) имеет вид
вытекающие из формулы Эйлера, основное разложение Фурье (1.57) представляются в следующей комплексной форме:
Теперь допустим, что период колебания T ряда Фурье является переменный величинин. Принимая
при предельном переходе n → ∞ и T → ∞, частота ωк будет стремиться к непрерывному переменному ω.
С учетом вышепринятого, подставляя значения (1.58) и (1.57), после некоторых преобразований получим:
Это означает, что любое нестационарное колебание f(t) с помощью интеграла Фурье можно представить как бесконечную сумму косинусоидальных колебаний с непрерывно меняющейся частотой CO и бесконечно малой амплитудой, равной S(ω)dω.
Принимая в (1.60) k→∞, T→∞, k2п/Т→ωk, после некоторых преобразований получим интеграл Фурье в комплексной форме:
Член в квадратных скобках называется спектральной плотностью комплексных амплитуд
Следовательно, интеграл Фурье и комплексной форме представится:
Иногда выражение (1.64) представляется в виде двойного интеграла
В общем случае плоская сейсмическая волна (1.35) или в форме (1.38) в виде интеграла Фурье представляется:
Распространение плоской затухающей сейсмической волны. Возвратимся снова к плоской гармонической волне (1.40) в комплексной форме
Заменяя через волновое число к из (1.69), получим
Как указано выше (1.70), это форма гармонической волны, распространяющейся в идеально упругой среде. В действительности амплитуды колебаний частиц со временем уменьшаются из-за поглощающей способности среды. Для описания волны в поглощающей среде вместо волнового числа к в уравнении (1.70) примем комплексное число
k = k1 - ik2.
Уравнение (1.70) тогда примет вид
Сопоставляя уравнение (1.71) с формулами (1.4'1), (1-50) и (1.51), получим
Таким образом, введение комлексного волнового числа k приводит к качественному изменению волны. По мере распространения вдоль оси ξ она ослабевает. Общий вид такой волны будет:
где γ - коэффициент поглащения энергии среды. Теперь выясним, решением какого дифференциального уравнения равновесия является выражение затухающей волны (1.73). Нетрудно убедиться, что оно не удовлетворяет основному волновому уравнению (1.34). Так как среду принимали неидеальна упругим, то основные зависимости между напряжением и деформацией не будет подчиняться закону Гука. В этом случае необходимо исходить из зависимости между напряжением и деформацией для материалов с так называемый упруго-вязкими свойствами. Связи между напряжением и деформацией упруго-вязких материалов соответственно для продольных и поперечных волн имеют вид (модель Фохта)
где ηхх и ηху - коэффициенты вязкости при деформациях расстяжения
(сжатия) и сдвига с размерностью кг*сек/см2. Среда, для которой имеет место (1.74), называется средой с последействием, так как в отличие от упругой среды деформации при разгрузке устраняются с запаздыванием. Отношения
которые имеют размерность времени, называются временами последействия. При t≤ηхх и t≤ηxz вязкость проявляется в большей степени, а при t≥ηxx и t ≥ηxz - упругость продляется в большей степени. Как показывает эксперименты, для земных недр значения ηxx и ηxz имеют порядок долей секунды. Так как периоды сейсмических колебаний в большинстве случаев больше времени запаздывания, то при их определении, без ущерба точности, можно пренебречь влиянием вязкости среды. Для получения соответствующих волновых уравнений с учетом вязкости среды, продифференцировав зависимости (1.74) по х и принимая во внимание, что εхх = ∂u/∂x и γху = ∂v/∂x, будем иметь:
Из условия равновесия элементарного участка среды (в частности, для случая поперечных волн это показано на рис. 1.32) левые части этих уравнений можно заменить соответственно инерционными силами ρ∂2u/∂t2 и ρ∂2v/∂t2. После таких замен и небольших преобразований они соответственно для продольной и поперечной волн примут вид:
Сопоставляя решения уравнений (1.75) с полученной выше формой волны с затуханием (1.73), можно установить количественные соотношения между коэффициентом поглощения энергии среды γp и γs и временами последействия ηxx и ηxz.
- Скорости и лучи распространения сейсмических волн
- Уравнения динамической теории упругости
- Волновое уравнение
- Сейсмические волны и определение параметров очага землетрясения
- Регистрация землетрясения
- Механизм возникновения землетрясения
- Причины землетрясений, литосферные плиты, сейсмоактивные пояса земли
- Опасные явления, сопровождающие землетрясение
- Что такое землетрясение
- Формационный анализ метасоматитов