» » Oсобенности плоских сейсмических волн

Oсобенности плоских сейсмических волн

15.08.2016

Как отмечено ранее, в общем случае волновые уравнения имеют форму (1.29) и (1.31). Теперь рассмотрим пример образования продольных и поперечных воли при простом возбуждении среды. Допустим в упругой среде установлен бесконечный щит (экран), плоскость которой совпадает с плоскостью ZY (рис. 1.37).
Oсобенности плоских сейсмических волн

Будем считать, что щит резким движением совершает плоско параллельное движение по направлению оси х в интервале времени от 0 до t0. Очевидно, что в этом случае компоненты перемещения u, v, w частиц не будут зависеть от координат у и z. Естественно, что частицы среды, находящихся в передней части щита будут подвергаться сжатию, а в задней части - растяжению. Рассмотрим движение среды в более поздние моменты времени, когда вынужденное плоскопараллельное движение щита прекратилось. Поскольку в плоскопараллельном движении компоненты перемещения u, v, w не зависят от координат у и z, то будем иметь:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Следовательно, основные динамические уравнения теории упругости в перемещениях (1.27.1) примут вид:
Oсобенности плоских сейсмических волн

где vp и vs соответственно скорости распространения продольных и поперечных волн. Волны, представленные уравнениями (1.34), называются простейшими плоскими волнами. При этом, как видно из уравнений, по оси X распространяется продольная P волна, а в перпендикулярной к ней плоскости по направлениям осей Y и Z две компоненты SV и SW одной и той же поперечной волны S.
На рисунке 1.37а показано фазовое пространство распространения сейсмических волн, на котором вертикальная координата представляет одно из смещений (u, v, w), а горизонтальные оси - время t и распространения х. Если в пространстве на рис. 1.37а зафиксировать какое-то расстояние хk, то получим сейсмограмму, соответствующую этому распространению Xk с разностью времен вступления волн P и S, равную:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Поскольку продольные горизонтальные движения передаются со скоростью vp, то горизонтальное продольное колебание частиц со смещением и уйдет вперед и для момента t1 достигнет расстояния vpt1, а поперечное движение, которое происходит перпендикулярно оси X и может быть представлено геометрической суммой v и w, т.е. √v2+w2 будет отставать от и и к моменту t1 достигнет расстояния vst1. Отсюда вытекает важное свойство упругих колебаний - произвольное плоскопараллельное движение щита не может распространяться по твердой упругой среде. Оно, это движение, распадается на продольное движение или колебание, характеризуемое компонентой и, и на поперечное движение - √v2+w2. В каждый момент они проходят различные расстояния и составляют продольную P и поперечную S сейсмические волны.
Oсобенности плоских сейсмических волн

Как было отмечено выше, решение уравнения (1.34) распространения плоских сейсмических волн, можно представить в следующей общей форме:
Oсобенности плоских сейсмических волн

где ξ - ось распространения, v - скорость распространения, a f - произвольная, дважды дифференцируемая функция. Часто возникает необходимость следить за распространением волн по таким координатным осям, направления которых не совпадают с направлением распространения волны ξ. В простом случае, когда волна происходит в плоскости zx и его направление составляет с осью х угол α (рис.1.38), выражение (1.35) представляется в виде:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Oсобенности плоских сейсмических волн

Форма представления распространяющейся плоской волны (1.38) предполагает ее распространение по осям х и z со скоростями vx = v/cosα и vz = v/sinα, которые принято называть кажущимися скоростями. Эти скорости в действительности являются кажущимися, так как они удовлетворяют уравнению
Oсобенности плоских сейсмических волн

сложения скоростей на плоскости.
В случае гармонических плоских волн решения (1.35) и (1.38) принимают более простой вид:
Oсобенности плоских сейсмических волн

где Δ - амплитуда колебания частиц среды, а ω - угловая частота колебаний.
В теории распространения упругих воли приняты следующие обозначения:
Oсобенности плоских сейсмических волн

где k - называют волновое число, λ - называется длина волны, T = 2π/ω - период колебания, v - скорость распространения волны.
В упругой среде от распространяющейся волны (1.35) на расстоянии ξ, в момент времени t возникает определенная относительная деформация, величина которой будет
Oсобенности плоских сейсмических волн

где f' - производная функция f по аргументу t-ξ/v.
В случае плоской поперечной волны для относительной деформации сдвига будем иметь:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Следовательно, для определения деформации существенно упрощается, так как его можно осуществить косвенно, используя величину скорости процесса колебания, т.е. вместо сложной операции установления разности смещения Δw = w2-w1 двух точек среды можно исходить из велисограммы ∂w/∂t землетрясения в одной точке.
Для гармонической плоской поперечной волны
Oсобенности плоских сейсмических волн

где А - амплитуда колебания, T - период колебания грунта, vs - скорость поперечных волн. На основании (1.42) для этого случая максимальное значение γ будет:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Горные породы толщи земной коры могут выдержать определенную деформацию сдвига, после того в среде образуются трещины сдвига. Если обозначим предельную сдвиговую деформацию среды через [γ], то из предыдущего равенства для амплитуды колебания грунта А получим:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Для нескольких землетрясений на территории Японии методом триангуляции были измерены смещения почвы в эпицентральной зоне до и после землетрясения. Они показали, что предельная деформация [γ] меняется в широких пределах - от 10в-3 до 10в-5.
При этом значение [γ] = (1/2)10в-4 считается наиболее вероятным для большинства землетрясений. Результаты лабораторных испытаний для [γ] дают значения 10в-3 и выше, что вполне очевидно, так как породы реальной коры содержат значительно больше трещин и локальных разрывов по сравнению с их лабораторными образцами.
По формуле (1.42а) можно дать оценку тем перемещениям А скальных грунтов, при которых возможны образования трещин на поверхности Земли. Для четырех вариантов скальных грунтов такие оценки максимальных перемещений А приведены в табл. 1.4.
Oсобенности плоских сейсмических волн

Такие оценки для нескальных грунтов не приемлемы, так как процесс нарушения сплошности в них имеет более сложный характер. Они во время сильных землетрясений подвергаются или разжижению, или неравномерным осадкам, которые могут достигать нескольких метров. Эти явления представляют серьезную опасность для зданий и сооружений (они могут упасть без разрушения), если они рассчитаны даже на большие горизонтальные ускорения грунта.
Потенциальная энергия среды.
При распространении сейсмических волн в упругой среде накапливается потенциальная энергия деформации. Согласно (1.28), значение удельной потенциальной энергии для плоских продольных и поперечных волн соответственно получим:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Таким образом, полная энергия накопленной в единице объема для любой плоской волны будет:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Так как эта энергия, обусловленная движением частицы от распространяющейся волны со скоростью vs или vp, то энергия протекающая в единицу времени через единичную площадку, которая называется также интенсивностью потока энергии будет:
Oсобенности плоских сейсмических волн

В теории распространения волн выражения vp и √vp соответственно называются акустической жесткостью грунта и импендансом колебания.
По величине интенсивности потока энергии Q в какой-либо точке можно произвести оценку величины энергии упругих колебаний, излучаемых источником (очагом). Допустим, что для некоторого землетрясения, принятого в качестве эталона, определена Q*(Δ) -зависимость интенсивности потока энергии от эпицентрального расстояния А, для другого произвольного землетрясения установив свою Q(Δ) и полагая, что процессы колебаний обоих землетрясений одинаковы по характеру и продолжительности, можно вычислить отношение Q(A)/Q (А) для одного и того же эпицентрального расстояния А и оценить, во сколько раз данное землетрясение интенсивнее (в энергетическом отношении) эталонного землетрясения.
Для гармонической плоской волны (1.40) интенсивность потока энергии Q согласно (1.46) примет более простой вид:
Oсобенности плоских сейсмических волн

где А - амплитуда, Т - период колебании грунта. В этом случае, как видно из (1.47), целесообразно вместо отношения Q/Q* воспользоваться отношением InQ/Q*, так в этом случае два землетрясения можно сравнить друг с другом только по величинам натуральных логарифмов InA и InA*, от их максимальных амплитуд Л и А* на сейсмограммах землетрясений с условием, что оба землетрясении зарегистрированы на скальных грунтах для исключения влияния периода Т колебания грунта. Эти свойства интенсивности потока энергии в конце концов привели к понятию оценки землетрясения по его магнитуде, па которой остановимся в дальнейшем.
Выше было рассмотрено распространение волн в идеальной упругой среде, когда энергия передается от места к месту без потерь. В действительности любая среда не является идеальной и поглощает часть энергии колебаний, превращая ее в тепло и другие ее виды. Естественно предполагать, что потеря энергии волны зависит от пройденного пути, т.е. чем большое расстояние проходит волна, тем слабее она становится. Обозначим начальную величину энергии волны через E0, а на единичном расстоянии E1. Отношение
Oсобенности плоских сейсмических волн

называется коэффициентом поглощения энергии среды. На расстоянии удельное поглощение энергии будет 2γ Δξ, или
Oсобенности плоских сейсмических волн

После интегрирования уравнения (1.48) в пределах от E0 до E и от 0 до ξ, получим:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Естественно потеря энергии по (1.49) приведет к уменьшению перемещений частиц среды. Поэтому величину потери энергии в среде можно характеризовать также отношением амплитуд колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии длины волны λ. В теории колебаний и распространения волн обычно пользуются не прямым отношением амплитуд, а отношением их натуральных логарифмов:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Величина δ называется декрементом затухания. Теперь установим связь между коэффициентами 8 и у. Как было укачано выше, накопленная а среде энергия (1.45) пропорциональна квадрату амплитуды колебания частиц. Вследствие справедливости следующих соотношений:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Подставляя это значение амплитуды колебания в выражение (1.50) для декремента затухания получим:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Таким образом декремент затухания равен произведению коэффициента поглащения у среды и длины волны X.
Интегральное и комплексное представление плоской волны. Изложение особенностей плоских сейсмических волн завершим их представлением через интеграл. Фурье, который имеет большое прикладное значение. Как известно, любой колебательный процесс можно представить как результат суперпозиции нескольких простых гармонических колебаний. С другой стороны, как было указано выше, в сейсмологии все регистрирующие датчики являются гармоническими колебательными системами. Следовательно, задача заключается в том, как путем суперпозиции, из этой, не имеющей ни начала ни конца процесса, построить некоторый внезапно возникающийся колебательный процесс, т.е. землетрясение. Математически это означает построить функцию, которая удовлетворяла условиям:
Oсобенности плоских сейсмических волн

где A1, ωi и φi выбираются таким образом, чтобы при t-t0, члены ряда (1.53) складываясь, уничтожали друг друга или, как принято говорить математически. “интерферировались па нуль", а при t≥t0 давали искомое колебание или “интерферировались конструктивно". Бесконечный ряд (1.53) можно представить также следующим образом:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Если теперь от дискретных значений ωi и функции A(ωi) перейти к непрерывно иаменяющемуся параметру ω и функции от него А(ω), то приращение Дсо будет соответствовать приращению ΔА. Кроме того, вместо изменения А(ωi) при последовательных целочисленных значениях i можно ввести ΔA/Δω Δω. После перехода к пределу Δω→0 сумма бесконечного числа бесконечно малых множителей ΔA/Δω Δωφ (ω, t) заменится интегралом для любого [ω1, ω2] интервала:
Oсобенности плоских сейсмических волн

называется спектральная плотность колебания f(t).
Отметим, что теперь ω является переменной интегрирования, a t -параметром. В результате после интегрирования получим функцию, зависящую только от времени t.
Обычно под нестациональным колебанием подразумеваем сложные непериодические колебания. Отдельные классы сложных колебаний представляют собой колебания, повторяющиеся через определенный период. Представление таких колебаний в виде суперпозиции гармонических колебаний предложено Фурье. Если функция f(t) обладает свойством
f(t) = f(t±nT),

где T - период повторения, а n — целое число, то представление Фурье для функции f(t) имеет вид
Oсобенности плоских сейсмических волн

вытекающие из формулы Эйлера, основное разложение Фурье (1.57) представляются в следующей комплексной форме:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Теперь допустим, что период колебания T ряда Фурье является переменный величинин. Принимая
Oсобенности плоских сейсмических волн

при предельном переходе n → ∞ и T → ∞, частота ωк будет стремиться к непрерывному переменному ω.
С учетом вышепринятого, подставляя значения (1.58) и (1.57), после некоторых преобразований получим:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Это означает, что любое нестационарное колебание f(t) с помощью интеграла Фурье можно представить как бесконечную сумму косинусоидальных колебаний с непрерывно меняющейся частотой CO и бесконечно малой амплитудой, равной S(ω)dω.
Принимая в (1.60) k→∞, T→∞, k2п/Т→ωk, после некоторых преобразований получим интеграл Фурье в комплексной форме:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Член в квадратных скобках называется спектральной плотностью комплексных амплитуд
Oсобенности плоских сейсмических волн

Следовательно, интеграл Фурье и комплексной форме представится:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Иногда выражение (1.64) представляется в виде двойного интеграла
Oсобенности плоских сейсмических волн

В общем случае плоская сейсмическая волна (1.35) или в форме (1.38) в виде интеграла Фурье представляется:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Распространение плоской затухающей сейсмической волны. Возвратимся снова к плоской гармонической волне (1.40) в комплексной форме
Oсобенности плоских сейсмических волн

Заменяя через волновое число к из (1.69), получим
Oсобенности плоских сейсмических волн

Как указано выше (1.70), это форма гармонической волны, распространяющейся в идеально упругой среде. В действительности амплитуды колебаний частиц со временем уменьшаются из-за поглощающей способности среды. Для описания волны в поглощающей среде вместо волнового числа к в уравнении (1.70) примем комплексное число
k = k1 - ik2.

Уравнение (1.70) тогда примет вид
Oсобенности плоских сейсмических волн

Сопоставляя уравнение (1.71) с формулами (1.4'1), (1-50) и (1.51), получим
Oсобенности плоских сейсмических волн

Таким образом, введение комлексного волнового числа k приводит к качественному изменению волны. По мере распространения вдоль оси ξ она ослабевает. Общий вид такой волны будет:
Oсобенности плоских сейсмических волн

где γ - коэффициент поглащения энергии среды. Теперь выясним, решением какого дифференциального уравнения равновесия является выражение затухающей волны (1.73). Нетрудно убедиться, что оно не удовлетворяет основному волновому уравнению (1.34). Так как среду принимали неидеальна упругим, то основные зависимости между напряжением и деформацией не будет подчиняться закону Гука. В этом случае необходимо исходить из зависимости между напряжением и деформацией для материалов с так называемый упруго-вязкими свойствами. Связи между напряжением и деформацией упруго-вязких материалов соответственно для продольных и поперечных волн имеют вид (модель Фохта)
Oсобенности плоских сейсмических волн

где ηхх и ηху - коэффициенты вязкости при деформациях расстяжения
(сжатия) и сдвига с размерностью кг*сек/см2. Среда, для которой имеет место (1.74), называется средой с последействием, так как в отличие от упругой среды деформации при разгрузке устраняются с запаздыванием. Отношения
Oсобенности плоских сейсмических волн

которые имеют размерность времени, называются временами последействия. При t≤ηхх и t≤ηxz вязкость проявляется в большей степени, а при t≥ηxx и t ≥ηxz - упругость продляется в большей степени. Как показывает эксперименты, для земных недр значения ηxx и ηxz имеют порядок долей секунды. Так как периоды сейсмических колебаний в большинстве случаев больше времени запаздывания, то при их определении, без ущерба точности, можно пренебречь влиянием вязкости среды. Для получения соответствующих волновых уравнений с учетом вязкости среды, продифференцировав зависимости (1.74) по х и принимая во внимание, что εхх = ∂u/∂x и γху = ∂v/∂x, будем иметь:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Из условия равновесия элементарного участка среды (в частности, для случая поперечных волн это показано на рис. 1.32) левые части этих уравнений можно заменить соответственно инерционными силами ρ∂2u/∂t2 и ρ∂2v/∂t2. После таких замен и небольших преобразований они соответственно для продольной и поперечной волн примут вид:
Oсобенности плоских сейсмических волн

Сопоставляя решения уравнений (1.75) с полученной выше формой волны с затуханием (1.73), можно установить количественные соотношения между коэффициентом поглощения энергии среды γp и γs и временами последействия ηxx и ηxz.