» » Уравнения динамической теории упругости

Уравнения динамической теории упругости

15.08.2016

Для выявлении сущности объемных сейсмических волн рассмотрим основные уравнения динамической теории упругости и общие деформационные параметры сплошной среды. Уравнение динамической теории упругости (при пренебрежении массовыми силами) в общем случае (рис. 1.33) имеет вид:
Уравнения динамической теории упругости

где u, v, w - перемещения по направлениям осей х, у, z, θ = εxx + εyy + εzz - объемное расширение, которое называется также дивергенцией вектора перемещений, ρ - плотность среды, "λ и μ коэффициенты Ламе, V - означает лапласиан, который в декартовых координатах является суммой вторых частных производных
Уравнения динамической теории упругости

Шесть компонентов деформации обычно определяются так:
Уравнения динамической теории упругости

Шесть компонентов напряжений σxx, σyy, σzz, σxy, τxz и τy с компонентами деформации соотношениями:
Уравнения динамической теории упругости

Из двух постоянных Ламе μ имеет простой физический смысл, являясь мерой сопротивления упругого тела свдиговым деформациям и называет модулем сдвига. Часто она означается также буквой G и легко можно определить прямо из опыта. Постоянная X Ламе простым соотношением не связана с величинами, определяемыми из опыта. Ее вычисляют по значениям μ и модуля упругости E (модуль Юнга) или коэффициента Пуассона v, представляющего собой отношение поперечного сужения к удлинению при одноосном растяжении образца.
Уравнения динамической теории упругости

В любом учебнике по теории упругости приводятся доказательства справедливости следующих соотношений между упругими характеристиками Е, G, v и коэффициентами Ламе λ и μ.
Уравнения динамической теории упругости

Из приведенных выше формул для напряжений легко получить соотношение
Уравнения динамической теории упругости

Сумма правой части, как уже отметили выше, есть объемная деформация Δv/v = 0 - дивергенция перемещений или дилатация среды в данной точке.
Если рассматривать небольшой элемент объема, который и недеформированном состоянии имеет форму куба с гранями, параллельными осям координат, то εxx, εyy, εzz будут мерой расширении куба в направлениях, параллельных осям. Мерой изменения объема куба будет сумма θ = εхх + εуу + εzz. Мерами искажения формы куба при сохранении его объема будут деформации сдвиги γxy, γxz и γyz.
При гидростатическом сжатии (давлении) σxx = σyy = σzz = -σ из вышеприведенного равенства будем иметь:
Уравнения динамической теории упругости

Величина Е/3(1 — 2v) - по аналогии с E называется модулем объемного расширения.
Значение удельной (на единицу объема) потенциальной упругой энергии среды представляется в следующем виде:
Уравнения динамической теории упругости

Волны расширения и волны искажения. Теперь, следуя Рихтеру, будем дифференцировать систему уравнений (1.27.1) соответственно по х, у, z: после их суммирования получим
Уравнения динамической теории упругости

Таким образом, для скалярной величины объемного расширения θ получили волновое уравнение в общем виде. Из этого уравнения видно, что изменение объема (продольная сейсмическая волна растяжения-сжатия Р) распространяется со скоростью:
Уравнения динамической теории упругости

Если, теперь, первое уравнение системы (1.27.1) продифференцировать по у и вычесть оттуда второе уравнение, заранее продифференцировав его по х, то получим:
Уравнения динамической теории упругости

т.е. φx, φy, φz являются компонентами вращения любого элемента среды, они называются также роторами вектора перемещения. В изотопной среде для любой плоской волны, распространяющейся по оси х, будем иметь:
Уравнения динамической теории упругости

следовательно, из равенства (с) получим γxy = -2φz.
Аналогично при рассмотрении плоской волны по осям у и z соответственно из уравнений (с) получим:
γxz = -2φy и γyz = -2φx.

Следовательно, уравнения (а) и (б) равносильны следующим волновым уравнениям:
Уравнения динамической теории упругости

Из последних трех волновых уравнений видно, что искажения γху, γxz и γyz среды, обусловленные поперечными сейсмическими волнами S по всем трем направлениям распространяются с одинаковой скоростью:
Уравнения динамической теории упругости

Так как среду принимали изотропными, а направления осей х, у, z произвольными, то в данной среде невозможно существование других распространяющихся плоских волн. Таким образом оказывается, что произвольное начальное возмущение среды с компонентами u, v, w разделяется на два импульса, распространяющихся со специфическими скоростями vp и vs.
Приведем еще одно простое доказательство существования сейсмических волн P и S в однородной изотопной среде, которое показывает, что это единственно возможные типы плоских волн. Рассмотрим плоскую волну, фронт распространения которой перпендикулярно произвольной оси х, распространяется с некоторой, пока неизвестной, скоростью с. Это можно выразить так:
Уравнения динамической теории упругости

Подставляя эти значения в общие уравнения равновесия (1.27.1) и учитывая, что для любого волнового движения со скоростью с имеет место:
Уравнения динамической теории упругости

Так как все эти три уравнения одновременно должны иметь место при заданном значении скорости с, то физически (математически тоже) это возможно в двух случаях:
Уравнения динамической теории упругости

которая, как мы видим выше, соответствует P-волнам. Так как компоненты v и w при этом отсутствуют, смещение происходит по направлению х распространения волны, следовательно, волна является продольной.
В случае б) для значения скорости с получим:
Уравнения динамической теории упругости

которая соответствует S-волнам. Так как отсутствует компонента и, смещения происходят по направлениям у, z, перпендикулярным распространению волны, следовательно, волны являются поперечными. Таким образом, в упругой изотопной среде другие типы плоских сейсмических волн, кроме P и S, не возбуждаются.