» » Волновое уравнение

Волновое уравнение

15.08.2016

В общем случае любое распространяющееся возмущение, каковыми являются также сейсмические волны, удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
Волновое уравнение

где Δ(x, y, z, t) - величина распространяющего возмущения в точке с координатами (x, y, z) и момент t, v - скорость распространения возмущения (волны).
В случае плоских волн (величина возмущения и зависит только от одной координаты) уравнение (1.12) принимает более простой вид:
Волновое уравнение

Для поперечной сейсмической волны S вывод уравнения (1.13) очень прост, как это видно из рис. 1.32. Допустим невозмущенный элементарный прямоугольник ABCD после сдвиговой деформации принимал положение A'B'C'D', как это показано на рисунке, вместе с образовавшимися касательными напряжениями τ. Суммарная поперечная сила действующей на стороне А'В' будет τ А'В', а на параллельной стороне D'C' в общем случае (τ+Δτ)D'C'.
Волновое уравнение

Так как элементарный прямоугольник, подвергаясь знакопеременным деформациям сдвига, должен находиться в равновесном состоянии, то разность поперечных сил, действующих на двух гранях, должна равняться инерционной силе, образовавшейся в элементе A'B'C'D' (единичной толщины), которая выразится
Волновое уравнение

где ρ - плотность среды, ∂2u/∂t2 - ускорение элемента по направлению перпендикулярному распространению волны. Следовательно, будем иметь:
Волновое уравнение

Волновое уравнение (1.19) - это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными и постоянными коэффициентами эллиптического типа. Такие уравнения решают двумя методами: волновым методом Даламбера и методом разделения переменных Фурье. Решение волнового уровня (1.19) методом Даламбера представляется в следующем виде:
Волновое уравнение

Первые члены в этиx выражениях соответствуют передаче движения (возмущение) в положительном направлении оси х, а вторые - в отрицательном направлении. Вид функций f1 и f2 произволен. Они лишь должны иметь конечные производные до второго порядка.
Волновое уравнение

Заменяя в выражении f1(x) переменную х на x-vt, а в выражении f2(x) переменную х на x+vt и складывая их, получим окончательное решение Даламбера волнового уравнения (1.19):
Волновое уравнение

где ξ - переменная интегрирования.
Рассмотрим теперь решение задачи с учетом граничных условий.
Волновое уравнение

Теперь выясним, с какой скоростью распространяется возмущение по оси х или при каких условиях любая точка оси х через промежуток времени Δt будет иметь одно и то же самое возмущение (деформацию). Допустим в момент t=tk возмущение точки х=хk равно (согласно (1.22) при ψ0 = 0)
Волновое уравнение

Уравнение (1.26) означает, что возмущение любой точки на оси х в прямом и обратном направлении распространяется с одинаковой скоростью V.