» » Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

25.04.2016

Топалофф разработал теорию, которая дает математически ясное решение для напряжений в резиновых опорных частях. Идеализация проблемы могла привести к сомнению в значимости всей теории, однако напряженное состояние при создании опорного угла поворота соответствует экспериментам.
Теория разработана для напряженно-деформационного состояния эластичного элемента, который в определенных плоскостях не имеет перемещений по осям х и у и вдоль свободных краев которого х=х0 и у=у0 напряжения отсутствуют (рис. 6.4).
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Выше показано, что характеристики резины зависят от многочисленных факторов, особенно от времени, величины деформаций, вида деформаций, температуры, истории деформаций и др. При определении напряжений и деформаций должны по меньшей мере учитывать важнейшие влияющие факторы, что приводит к системам уравнений, которые не могут быть решены соответствующими средствами. Поэтому соображения, приведенные в этом разделе, имеют больше качественное, чем количественное значение. Они важны поэтому для разработки конструкций опорных частей, но представляют меньший интерес для повседневных практических расчетов.
Топалофф принял следующие предпосылки, без которых, несмотря на возражения, расчет кажется невозможным:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Деформации сжатия. Для деформаций сжатия (см. рис. 6.4) справедливо дифференциальное уравнение
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Напряжения σ в опорной части распределяются примерно параболически ввиду влияния края опорной части. Наибольшие напряжения появляются в середине опорной части (рис. 6.5).
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Из аналогии с вышеуказанным дифференциальным уравнением дифференциальное уравнение кручения Сен-Венана дает
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

где F — площадь опорной поверхности; Wт -крутильный момент сопротивления сжатой поверхности.
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для прямоугольника с b/а≥1 (табл. 6.1)
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для круглой опорной части
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Касательные напряжения τzx и τxy распределяются прямолинейно по ширине опорной части. Они наибольшие в недеформированной граничном поверхности у края опорной части в середине длинной ее стороны:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для прямоугольника с b/a≥1 в середине длинной стороны опорной части
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

В середине короткой стороны опорной части
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

где η1 имеет следующие значения:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для круглой опорной части диаметром d
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Из деформации сжатия ε такого резинового элемента можно получить условный модуль упругости
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

который не является постоянной материала, а зависит от размеров резинового элемента. Его можно определить по формуле
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

где IT — крутильный момент инерции сжатой поверхности; F — площадь опорной поверхности.
Для прямоугольника с b/а≥1
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

где η3 имеет следующие значения:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для круглой опорной части диаметром d
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Надопорный поворот. Поворот на опоре (рис. 6.6) дает дифференциальное уравнение
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Напряжения о в опорной части распределяются в виде волны напряжений с положительной и отрицательной областями. Наибольшие напряжения наблюдаются вблизи четвертей. В этом случае в середине опорной части напряжения равны нулю (рис. 6.7).
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Резиновую опорную часть можно не заанкеривать в сооружении против действия растягивающих усилий, если полученная область растягивающих напряжений перекрывается достаточно большими напряжениями от деформаций сжатия.
Если восприятие растягивающих напряжений нежелательно или невозможно, то уравнение справедливо для прямоугольной опорной части при
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Ограничение идентично при
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

т. е. эксцентриситет меньше величины ядра опорной части.
Решение дифференциального уравнения тогда будет:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

где n=2, 4, 6, 8, m=1, 3, 5, 7, ...
Для бесконечно длинной опорной полосы возможно замкнутое решение, из которого найдем для точки х=0,29 а:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Касательные напряжения Tzx распределяются параболически. Они достигают наибольшей величины в середине края опорной части b и наполовину меньше в середине опорной части (см. рис. 6.7).
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для прямоугольной опорной части в точке х = a/2
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для круглой опорной части в точке x = d/2
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Момент, который вызывает угол поворота а, для прямоугольной опорной части с b/a≥1
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

где η4 имеет следующие значения:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Для круглой опорной части диаметром d
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

При угле поворота на опоре α появляется также горизонтальная сила H от нагрузки N (рис. 6.8), которую обычно не учитывают (эффект Киршкерна):
H = Nα/2.

Эта сила не является абсолютно горизонтальной. Считают, что она действует по срединной плоскости опорной части и является компонентой нормальной силы.
Деформации сдвига. Допустим прежде всего, что деформации сдвига имеют тривиальную закономерность в соответствии с рис. 6.9. Тогда между деформациями и напряжениями будет известная зависимость
tan γ = τ/G.

Эта зависимость связана со свойствами материала. Для допущенных к применению опорных частей можно принять в расчетах G = 10 кгс/см2. Этот модуль сдвига относится к нагружению в течение 2 мин.
Вызываемые сооружением деформации сдвига опорной части площадью F приводят к появлению реактивной силы
Hr = tanγGF.

Передающаяся от сооружения активная сила Ha вызывает деформацию опорной части
tanγ = Hd/FG.

Обе деформации, а также вызываемые ими напряжения, следует суммировать. Если напряжения и деформации действуют в разных направлениях, то сложение будет векторным, например
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

При скручивании опорной части в плане появляются деформации сдвига
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

которые в данном случае также следует учитывать.
От любых деформаций сдвига возникает момент (рис. 6.10)
M = G tanγ Fd.

Этот момент обычно не учитывают, так как при этом эксцентриситет нагрузки для применяемых на практике опорных частей небольшой. Этот момент незначительно влияет на характер напряжений σ от деформаций сжатия.
Наоборот, эксцентриситет нагрузки (или угол поворота на опоре) всегда вызывает деформации сдвига опорной части, как следует из этого уравнения и как отмечено при рассмотрении влияния угла поворота на опоре.
Совершенно тривиально, как следует из изложенного ранее, отсутствие собственно состояния сдвига резиновых опорных частей, так как искажение сдвига в сравнении с размерами элемента велико. Появляющиеся внутри элемента растягивающие напряжения могут вызвать чрезмерные удлинения поверхностей, приводящих, например, к отрыву краев опорной части от сооружения. Внутренние растягивающие напряжения приводят такие к небольшому изменению толщины резиновой опорной части при деформациях сдвига, что обнаружено при испытаниях на жестком прессе.
Растяжение поверхности вызывает отрыв края опорной части от сооружения, если жесткость арматурных листов не препятствует этим деформациям. Однако целесообразнее применять гибкие арматурные листы и достаточное боковое перекрытие этих листов резиной для обеспечения деформаций, так как иначе в зоне сцепления между резиной и арматурой наряду с большими касательными напряжениями в краевой области должны восприниматься также значительные растягивающие напряжения. Заанкеренные резиновые опорные части с относительно жесткими перекрывающими листами поэтому работают принципиально хуже.
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Деформации сдвига от деформаций сжатия (свойства устойчивости). Топалофф показал, что при выбранной им математической модели потеря устойчивости при сдвиге происходит уже при σ=G. Он утверждает, что при малых касательных напряжениях реактивная сила настолько велика, что снова создается устойчивое равновесие. Это подтверждают экспериментальные исследования.
Для толстых опорных частей Топалофф ожидал продольный изгиб, однако при исследованных размерах и напряжениях он не наблюдался.
Испытания резиновых опорных частей из хлоропреновой смеси С196 (рис. 6.11) показали, что практически при любой нагрузке наблюдаются деформации сдвига. Размеры опорных частей представлены в табл. 6.2.
Деформации сдвига определяли для элементов с неподвижными относительно друг друга нагружаемыми опорными поверхностями. Результаты испытаний действительны также для элементов с подвижными относительно друг друга опорными поверхностями, причем полезная высота этих элементов вдвое меньше (Т/2, см. рис. 6.11). Размеры испытуемых элементов в плане составили а = 150 мм и b = 200 мм.
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Деформации сдвига наблюдались в направлении длинной и короткой сторон опорной части, причем предполагали, что они в принципе пропорциональны величине сторон. Правда, рассеивание значений было так велико, что подтвердить это высказывание нельзя. Типичные деформации приведены на рис. 6.12, причем средняя стальная плита как не-деформирующееся тело не показана. Измеренные деформации сдвига А вдоль короткой стороны образца и В вдоль длинной стороны показаны на рис. 6.13. Следует учитывать, что отношение А/Т является не тангенсом угла деформаций сдвига, а половиной его.
На рис. 6.14 показана зависимость горизонтальных деформаций от полезной толщины образца, необходимая для определения закономерностей.
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

В качестве характеристики предельного значения сжимающих напряжений или полезной толщины T можно принять приращение деформаций. Предлагается ограничивать его величиной
d tanγ/dT = 0,002 (1/мм).

Это ограничение соответствует углу наклона кривых 45° на рис. 6.14. В качестве характеристики вместо полезной толщины T можно использовать относительную полезную толщину Т/а (рис. 6.15).
Предварительные деформации сдвига tanγ=0,7, как показали испытания, не влияют на устойчивость (рис. 6.16). Деформации сдвига испытуемого образца с увеличением нагрузки возросли лишь на 3,5% по отношению к исходным деформациям.
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Однако касательные напряжения (реактивная сила) значительно уменьшаются с возрастанием нагрузки (см. рис. 6.16, б), поэтому учитывать статически благоприятное влияние реактивных сил больше нельзя.
Реактивное усилие должно иметь величину
τ = 0,7(10±2), т. е. 5,6 ≤ τ ≤ 8,4 (кгс/см2).

Уже при давлении 100 кгс/см2 модуль сдвига находится у «допустимой» границы.
Из рис. 6.13 можно видеть, что образец № 2 при σ = 300 кгс/см2 имел деформацию сдвига tanγ=0,28. Тогда мы получили бы τ=(0,7—0,28) (10±2); 3,36≤τ≤5,05 (кгс/см2), что примерно соответствует фактической величине τ=3,3 кгс/см2.
Таким образом, при измерении модуля сдвига следует учитывать, очевидно, влияние нагрузки σ одновременно с относительной толщиной T/а.
Если деформациям сдвига резиновых опорных частей от нагрузки препятствует неподвижная опорная часть, то в ней появляются удерживающие силы. Удерживающие силы измеряли, возвращая горизонтальной силой деформации сдвига А/Т. При этом получили зависимость (рис. 6.17), которая справедлива для резиновой опорной части с неподвижными относительно друг друга опорными поверхностями.
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Неподвижная опорная часть должна воспринимать удерживающую силу, которая в соответствии с рис. 6.17 составляет 1,0—1,5% от нагрузки. Эту удерживающую силу не суммируют с реактивной силой резиновых опорных частей, получивших деформации сдвига. Она учитывается в случае, если эта реактивная сила меньше 1,0—1,5% нагрузки.
При этом за нагрузку принимают сумму нагрузок для всех резиновых опорных частей несущей системы, включая резиновые опорные части с удерживающими конструкциями.
Однако нет безусловной необходимости в том, чтобы удерживающие силы воспринимались неподвижными опорными частями без деформаций. Резиновые опорные части могут воспринимать эти силы без уменьшения своей несущей способности. При этом, конечно, наблюдаются перемещения сооружения, которые следует учитывать и которые можно допустить.
При испытаниях на длительное загружение ограничились продолжительностью опытов около 100 ч, так как после этого времени произошла большая часть деформаций ползучести. Отмечено, что ниже показанной на рис. 6.15 предельной линии деформации возрастают только за счет ползучести.
Влияние поворота на опоре исследовали выборочными испытаниями. При угле поворота а от нагрузки N появляется горизонтальная компонента, (см. рис. 6.8)
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

Соответствующие деформации сдвига
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

При испытании образца при zulα=18%, используя клин, получили деформации в области между штриховыми линиями (рис. 6.18), если, как и раньше, принимали, что деформации сдвига от нагрузки (продольный излом) не суммируются с другими деформациями сдвига (область между штриховыми линиями определяется пределами модуля сдвига G=10±2 кгс/см2).
Восприятие касательных напряжений. Полученные касательные напряжения должны передаваться трением сцепления или сцеплением на принимаемую бесконечно жесткой нагруженную поверхность сооружения или арматурные элементы (см. рис. 6.2). При восприятии напряжений трением сцепления встречаются трудности, так как в области наибольших касательных напряжений (у края) напряжения смятия равны нулю.
Касательным напряжениям т (см. рис. 6.5) соответствует растягивающее усилие Z в нагруженной поверхности сооружения. Для бесконечно длинной полосы опорной части получим с учетом гидростатического напряженного состояния от σm:
Определение напряжений в эластомерных опорных частях с учетом теории упругости

При принятом характере деформаций эта сила распределяется поровну между ограничивающими поверхностями (между арматурой и поверхностью сооружения).