» » Моделирование пространственных переменных

Моделирование пространственных переменных

03.08.2016

Поля геологических признаков

При изучении строения земной коры разведуемого или разрабатываемого месторождения геолога, горняка и обогатителя интересуют не только средние характеристики изменчивости и взаимосвязи наблюдаемых параметров, например концентраций компонентов, но и закономерности их пространственных изменений в исследуемых объемах недр. Статистические модели для этих целей непригодны, поскольку любой статистический показатель отражает лишь средний уровень изменчивости изучаемого свойства, независимо от пространственного размещения пунктов опробования. Однако закономерности их пространственного размещения могут оказаться абсолютно разными, что иллюстрируется схематическими графиками рис. 7.7
Моделирование пространственных переменных

Следует также помнить, что статистические характеристики обеспечивают объективные оценки уровня наблюдаемой изменчивости признака только, когда выборочные данные представляют собой совокупность независимых случайных величин. Указанные недостатки статистических методов в определенной мере устраняются с помощью математического моделирования полей геологических признаков на основе современных математических признаков.
Полем геологического признака называется пространство недр (или часть его), каждая точка которого характеризуется значением геологического показателя (признака).
Такое определение аналогично понятию скалярного поля в математике. Если с пространством недр связана прямоугольная система координат, то каждая ее точка имеет координаты х, у, z. Поле геологического признака U считается заданным, если в каждой точке пространства задана функция U = f(x, у, г). Ясно, что в одной и той же части пространства могут быть определены несколько функций для различных геологических показателей. Наряду с трехмерными полями геологических признаков будем также рассматривать дву- и одномерные поля. Например, мощность рудной залежи m есть функция двух координат m = f(x,y).
В зависимости от природы свойства недр, характеризующего показатель U, всегда можно указать возможные значения, которые может принимать данная переменная. Как правило, чиcловые значения признака U могут изменяться непрерывно в некотором промежутке. Например, содержание полезного компонента, измеренное в процентах, может иметь значения от 0 до 100. Нижняя граница интервала может отличаться от нуля, если речь идет о бортовом содержании.
Для более полного описания свойств недр, наряду с полями признаков, возможные значения которых непрерывны, полезно ввести в рассмотрение поля геологических признаков, которые могут обладать лишь конечным числом значений. В простейшем случае число возможных значений равно двум. В связи с описанием таких полей важное значение имеет понятие индикаторной переменной I(х, у, z) (или просто индикатора), которая принимает два возможных значения — 0 и 1.
Обычно индикатор связывается с одним из показателей непрерывного типа следующим образом:
Моделирование пространственных переменных

Геометрический смысл индикатора IU заключается в следующем. Пусть, например, U = f(x,y, z) — содержание основного компонента, a U0 — минимальное промышленное содержание. Тогда область недр, в каждой точке которой среднее значение индикатора IU равно единице, будет отвечать балансовым запасам. При изменении технико-экономических условий значение U0 также изменится, а это, в свою очередь, приведет к преобразованию поля индикатора IU. Аналитические операции над переменной IU позволяют установить в рассмотренном примере контуры балансовых запасов.
При исследовании месторождения поля геологических признаков неизвестны. Геологоразведочные работы позволяют установить числовые значения показателя Uk = f(xk, уk, zk) в ограниченном числе точек Мk по результатам прямых измерений (опробования). В общем виде основная задача при изучении свойств месторождения полезного ископаемого может быть сформулирована следующим образом: по известным значениям показателя Uk в конечном числе пунктов опробования восстановить их значения.
Геометрический смысл индикатора IU заключается в следующем. Пусть, например, U = f(x,y, z) в произвольной точке. В такой постановке математическим аналогом является задача интерполяции функции. Результатом ее решения будет математическая модель поля геологического признака U = f(x,y, z). Такая модель всегда будет приближенной, так как, с одной стороны, результаты опробования сопровождаются погрешностями, а с другой — любая интерполяционная процедура сопровождается методическими погрешностями. Соотношение между этими двумя типами погрешностей может быть различным. В некоторых случаях разумно пренебречь техническими погрешностями опробования при выборе метода интерполяции.
Таким образом, чтобы построить математическую модель поля геологического признака, необходимо использовать соответствующий метод интерполяции. К настоящему времени в прикладной математике в связи с различными задачами из разных областей науки и техники разработано большое число интерполяционных методов.
Понятие о методах математического моделирования пространственных переменных

Под математическим моделированием месторождений полезных ископаемых понимают установление приближенных аналитических зависимостей числовых значений геологических признаков от координат точек пространства. Иначе говоря: определение явного вида уравнений, описывающих поля геологических признаков, т.е. U = F(х, у, z).
Любая модель базируется на некоторых разумных допущениях, позволяющих упростить процесс моделирования. Характер допущений зависит, во-первых, от геологических особенностей моделируемого поля признака, во-вторых — от направленности моделирования. Основное допущение связано с возможностью представления функции U = F(x, у, z) в виде суммы трех независимых компонент (аддитивная модель изменчивости признака):
Моделирование пространственных переменных

где f(x, у, z) — детерминированная составляющая поля признака U; g(x, у, z) — коррелированная реализация случайной функции; φ(x, у, z) — чисто случайная компонента.
Детерминированную компоненту f(х, у, z) иногда называют закономерной составляющей, или трендом. Она описывается с помощью вариограммы. Для случайной компоненты φ(x, у, z) важнейшее свойство — независимость значений в двух различных точках.
Предположение об аддитивности поля признака (7.29) является достаточно общим, и, как показывают результаты многочисленных исследований, оправдано для различных геологических показателей. Таким образом, общая задача моделирования поля признака U распадается на независимые задачи моделирования составляющих f, g и φ. При этом в зависимости от типа признака одна или две компоненты в выражении (7.29) могут отсутствовать. Очевидно, в дополнение к выражению (7.29) существуют более простые разложения, содержащие по одному и два слагаемых.
На первом этапе исследований необходимо ответить на два основных вопроса: какое количество составляющих содержит аддитивная модель поля данного признака и как выделить эти составляющие на основании анализа данных опробования? Ответ на первый вопрос находят с помощью анализа экспериментальных вариограмм. Задача о разложении поля признака на компоненты сводится в основном к задаче о выделении закономерной составляющей f(х, у, z). Совокупность различных математических методов решения этой задачи получила в геологии название тренд-анализа.
При построении математической модели поля признака необходимо соблюдать следующий важный принцип. Аналитический вид функции f(х, у, z), а также характеристики случайных функций g(x, у, z) и φ(х, у, z) должны определяться по данным, полученным в пределах геологически однородных зон. Пренебрежение этим принципом может привести к результатам, имеющим мало общего с реальными данными.
Наряду с разделением рудного тела на геологически однородные части будем рассматривать также искусственные разделения в пределах однородных зон на горизонтальные (или вертикальные) слои. Очевидно, что математическое моделирование поля признака в пределах отдельного слоя — более простая задача, так как уменьшается число аргументов функции U. Tpex-или двумерная модель поля признака заменяется на множество дву- или одномерных моделей того же признака для каждого слоя в отдельности.
Помимо упрощения, которое достигается при моделировании отдельного слоя, обоснованием для такого разделения могут быть причины, связанные с особенностями разведочной сети или способа разработки месторождения полезного ископаемого.
Пусть месторождение большой мощности разведано вертикальными скважинами. Если предусматривается разрабатывать месторождение открытым способом, то моделировать поля признаков целесообразно в пределах каждого слоя, подлежащего отработке и имеющего мощность, равную высоте уступа. Аналогичным образом при подземной разработке моделирование следует проводить в пределах отрабатываемых горизонтов. В том и другом случаях уменьшение размерности задачи достигается за счет перехода к усредненным значениям показателей в объединенных пробах на всю мощность слоя.
Другие упрощения, связанные с математическим моделированием полей геологических признаков, будут рассмотрены далее при обсуждении методов моделирования. Необходимо лишь отметить, что при моделировании размещения показателей в пределах слоя за счет усреднения относительная доля компонент в выражении (7.29) в отличие от точечной модели изменяется. Вклад случайных составляющих уменьшается, и при определенных условиях ими можно пренебречь.
Геостатистические модели изменчивости геологических показателей

Если моделируемое поле признака является случайным одно родным полем с конечным математическим ожиданием и дисперсией, то между автокорреляционной K(h) и структурной S(h) функциями справедливо соотношение
Моделирование пространственных переменных

Аналогичные соотношения будут справедливы и для их оценок. Выбор функции при оценке изменчивости не является принципиальным при сделанных предположениях и должен определяться простотой вычислительных процедур при нахождении оценок и подборе аналитической аппроксимирующей зависимости. Оценка структурной функции предпочтительнее, так как для нее относительно просто находятся числовые параметры по результатам экспериментальных оценок.
Рассмотрим некоторые практические аспекты оценивания структурных функций и их аппроксимации аналитическими выражениями. He вызывает затруднений оценка 5(A), если разведочная сеть регулярна. Пусть известны значения показателя C(xj, уi) в узлах прямоугольной сети с размерами элементарной ячейки hx*hy.
Тогда оценки 5(A) для четырех различных направлений находятся по формулам:
Моделирование пространственных переменных

Оценки структурной функции (вариограммы) S(h), построенные для различных направлений, содержат почти всю информацию об изменчивости характеристик поля, необходимую при решении задачи об оценке показателей и ее погрешности в произвольной точке поля или в заданном объеме. Различие вариограмм, построенных для различных направлений, позволяет выявить геометрическую, зональную и функциональную анизотропии.
При наличии всех трех типов анизотропии аппроксимация вариограмм может быть сложной. Дело в том, что при анализе экспериментальных вариограмм следует учитывать, что функциональная анизотропия указывает на наличие закономерной составляющей (тренда) в размещении показателя и она проявляется в резком возрастании S(A) на больших расстояниях. Геометрическая анизотропия проявляется в подобии вариограмм для взаимно перпендикулярных направлений, причем коэффициент подобия равен коэффициенту анизотропии. Наличие зональной анизотропии связано с различным масштабом изменчивости для разных направлений, т.е. значения S(A) существенно отличаются друг от друга на больших расстояниях. Оставшаяся часть будет характеризовать анизотропную составляющую изменчивости показателя.
Аппроксимация вариограмм проводится с помощью одной из моделей, приведенных на рис. 7.8. При этом необходимо руководствоваться особенностями тех задач, для решения которых в дальнейшем будет использоваться структурная функция S(A). Например, для нахождения оптимальной оценки среднего содержания металла в блоке необходимо аппроксимировать S(A) на достаточно большом интервале изменения А. В этом случае удобнее всего использовать экспоненциальную или сферическую модели изменчивости.
Моделирование пространственных переменных

В связи с задачами интерполяции, возникающими при вычерчивании изолиний с помощью ЭВМ, необходимо более точно аппроксимировать S(A) в окрестности нуля, т.е. на расстояниях, меньших шага опробования. Для этих целей наиболее подходящая аппроксимационная модель — степенная. Преимущества степенной модели объясняются прежде всего тем, что показатель в уравнении структурной функции
Моделирование пространственных переменных

характеризует степень регулярности пространственной переменной. Чем ближе k к нулю, тем выше доля случайной составляющей изменчивости; при k = 2 случайная составляющая отсутствует. При этом в представлении (7.32) отсутствует константа «эффекта самородков».
Для определения параметров уравнения (7.32) удобно представлять оценку вариограмм S(h) в логарифмическом масштабе по обеим осям. В этом случае оценкой параметра к будет тангенс угла наклона графика S(h) к горизонтальной оси.
В случае регулярных сетей опробования оценка структурных функций при неравномерном опробовании имеет свои особенности: для оценки вариограммы строится гистограмма переменных расстояний h между всеми возможными парами точек (Mi, Mj) с использованием среднего расстояния hcp. После этого квадраты разностей [С (Mi) - C(Mj)]2 для всех пар, попадающих в один разряд, объединяются и усредняются. Простое усреднение является правомочным, так как расстояния между соседними точками распределены приблизительно равномерно на отрезке [0, hср]. Подбор модели изменчивости и определение параметров модели проводятся, как и при равномерном опробовании. Оценка параметров структурных (или автокорреляционных) функций динамических рядов качества руд выполняется аналогичным образом.