» » Сведения из теории погрешностей измерений

Сведения из теории погрешностей измерений

02.08.2016

Понятие достоверности информации. Понятию достоверности, широко используемому в практических приложениях, обычно не придается количественного выражения. Целесообразно связывать понятие достоверности запасов с величиной погрешности подсчета и его детальностью.
Анализ погрешностей при подсчете запасов — непростая задача. Геологические исследования месторождения полезного ископаемого носят многоплановый характер. Огромный объем информации, который постоянно накапливается и обновляется по мере изучения месторождения, можно представить себе как совокупность большого числа измерений показателей месторождения в отдельных его точках или блоках. Числовые значения этих характеристик всегда сопровождаются ошибками. Погрешность каждого измерения вносит свои вклад в ошибку при подсчете запасов.
Это свойство распространения ошибок отдельных измерений составляет основу различных подходов к анализу погрешностей при проведении сложных расчетов. Представления о характере распространения ошибок и способах их учета содержатся в теории вероятностей и математической статистики. При обработке геологоразведочных данных их оказывается недостаточно в силу наличия взаимосвязей между отдельными измерениями показателей месторождения.
В практике геологических исследований эта экспериментально обнаруживаемая зависимость учитывается приближенно, например, при выборе и обосновании метода подсчета запасов и в редких случаях при анализе погрешностей. За последние десятилетия дано теоретическое обоснование методам анализа погрешностей зависимых измерений в геологии. Эти методы получили название геостатистических и в настоящее время широко используются при оценке месторождений полезных ископаемых.
Классификация и погрешности измерений. Чтобы количественно оценить точность результатов обработки геологоразведочных данных, необходимо учитывать погрешности величин, которые привлекаются для расчетов. Однако это не всегда можно сделать, так как значения погрешностей отдельных параметров могут быть неизвестны. Ho даже в таких неопределенных ситуациях желательно иметь представление об источниках ошибок и, если возможно, их допустимых пределах.
Вопросы, связанные с анализом погрешностей, рассматриваются в теории ошибок. Основное понятие данной теории — понятие измерения. Говоря об измерении некоторой величины, имеют в виду как сам процесс измерения, так и его результат. Измерить какую-либо величину — значит определить, сколько в ней заключается однородных с ней величин, принятых за единицу измерения. Последняя задается системой единиц.
Результат измерения величины у- и ее истинное значение у отличаются друг от друга. Однако обычно эти две величины отождествляются. Это означает, что мы пренебрегли различием, причем часто без достаточных оснований. Чтобы процесс измерения приобрел определенный смысл, устанавливают связь между истинным значением величины у и отсчетом по измерительному прибору с помощью уравнения измерения. В зависимости от вида этого уравнения различают три класса измерений: прямые, косвенные и совместные.
Простейшими являются прямые измерения или непосредственные наблюдения. Их уравнения имеют вид
Сведения из теории погрешностей измерений

где у — значение измеряемой величины в принятых единицах; k — цена деления шкалы; х — отсчет по измерительному прибору.
Примерами прямых измерений могут служить непосредственное определение элементов залегания наклонного слоя с помощью горного компаса, массы пробы с помощью весов, расстояния между двумя точками на земной поверхности с помощью дальномера и т.п.
Прямые измерения некоторых величин провести трудно либо по техническим причинам, либо по соображениям экономического порядка. Значения таких величин могут быть получены косвенным путем. Измерения называются косвенными, если они описываются уравнениями вида
Сведения из теории погрешностей измерений

где z — значение измеряемой величины; х, у, ... — результаты прямых измерений; а, b, ... — физические, технологические и другие константы.
Вычисление объема рудного тела, среднего содержания металла в блоке по результатам опробования, подсчет запасов — примеры косвенных измерений. Обратим внимание на то, что одна и та же величина z может быть измерена косвенно разными способами. Явный вид функции f при этом определяется методикой косвенных измерений. Например, подсчет запасов может быть выполнен в одних и тех же условиях разными способами.
Обобщением понятий прямого и косвенного измерений являются совместные измерения. Измерения называются совместными, если одновременно измеряется несколько величин и уравнения измерения для этих величин образуют систему уравнений. Число уравнений в системе может быть разным. Их число, а также явный вид зависят от используемого способа измерения. В случае двух измеряемых величин α и β уравнения измерения могут быть записаны следующим образом:
Сведения из теории погрешностей измерений

где x1', x2',..., xm'; x1'', x2'',..., xm'' — результаты прямых или косвенных измерений.
Здесь число уравнений равно числу измеряемых величин α и β; система предполагается совместной и имеющей единственное решение. Обычно каждое уравнение системы соответствует отдельному опыту, в котором проведены измерения величин х1, х2,..., хт. Если число уравнений превосходит число измеряемых величин (проведено большое число опытов), то их систему решают методом наименьших квадратов.
В зависимости от точности результата выделяют три класса измерений:
• эталонные, которые имеют максимально возможную точность на данном уровне техники;
• контрольно-проверочные, при которых ошибка измерения не превышает заранее заданного допуска;
• технические, для которых ошибка измерения определяется техническими возможностями имеющегося измерительного комплекса.
Перечисленные классы измерений по точности в основном соответствуют прямым измерениям. Количественной характеристикой точности измерения должна служить величина погрешности измерения. Анализ погрешностей косвенных и совместных измерений представляет собой сложную задачу.
Величину погрешности Δ измерения некоторого показателя принято описывать с помощью разности
Δ = х-х,

где х — результат измерения; х — истинное значение измеряемой величины.
На первый взгляд, такое определение логически противоречиво, так как для выявления погрешности Δ необходимо знать истинное значение измеряемой величины х. Ho в таком случае информация об измеряемой величине заведомо не содержит ошибки. Противоречие снимается, если иметь в виду не конкретное значение Δ для данного измерения, а некоторое среднее или максимально возможное значение в конкретных условиях процесса измерения.
Чтобы судить о величине погрешности измерения, необходимо знать источники происхождения ошибок. Независимо от факторов, влияющих на точность измерений, все ошибки принято делить на две группы: систематические и случайные.
Ошибка называется систематической, если ее величина Δс постоянна при измерениях, которые проводятся в одних и тех же условиях. Основным источником систематических ошибок при прямых измерениях является несоответствие условий измерения тем, для которых предназначена данная методика.
Систематические ошибки косвенных измерений могут возникать за счет систематических ошибок прямых измерений, а также за счет упрощения уравнения измерения (4.2). Основное свойство систематической ошибки заключается в том, что результат измерения всегда завышен (или всегда занижен) по отношению к истинному значению измеряемой величины. Чтобы оценить величину систематической ошибки, обычно выполняются специальные исследования.
Случайной называется ошибка Δсл, которая может изменяться от одного измерения к другому самым нерегулярным образом как по величине, так и по знаку. Случайная ошибка возникает как результат совместного влияния множества различных случайных факторов, вклад каждого из которых невозможно учесть. Для количественной оценки случайных ошибок используется аппарат теории вероятностей и математической статистики.
Наряду с разделением ошибок по содержанию на систематические и случайные различают типы ошибок по источникам их появления: технические, методические и ошибки аналогии (ошибки классификации).
Показания любого прибора всегда отличаются от истинного значения измеряемой величины. Техническая ошибка измерения складывается из ошибки прибора (инструментальная ошибка) и погрешностей, которые связаны с условиями измерения, способами обработки и анализа. Инструментальная ошибка обусловлена техническим совершенством прибора и указывается в паспорте последнего. На инструментальную ошибку, которая может содержать и систематическую и случайную составляющие, накладывается ошибка округления. Она определяется тем, что результат, считываемый со шкалы прибора, записывается конечным числом значащих цифр.
Техническая ошибка материальных проб складывается, например, из ошибки отбора вещества пробы, погрешностей его обработки и анализа.
Источники методических ошибок заключены в самой методике измерений. Обычно под методической ошибкой понимают ошибки косвенных измерений. Величина методической ошибки зависит от явного вида уравнения измерения и выражается через ошибки прямых измерений, которые выполняются для расчета искомой величины. На результаты косвенных измерений также могут накладываться ошибки вычислений, так как последние проводятся с конечным числом значащих цифр. Очевидно, что из двух методик измерения одной и той же величины более эффективной следует считать ту, которая приводит к меньшей методической ошибке.
Ошибки аналогии связаны с тем, что результаты локальных измерений характеристик объекта распространяются на средние значения этих характеристик в некоторых объемах. Типичный пример ошибки аналогии — ошибка распространения результатов анализа материала пробы на определенный объем рудного тела, который эта проба представляет. Ошибки аналогии по абсолютной величине могут значительно превосходить ошибки прямых измерений, которыми по этой причине иногда можно пренебречь. Теоретический анализ методических ошибок и ошибок аналогии применительно к геологоразведочным задачам осуществляется методами математической статистики и геостатистики.
Элементарные методы оценки ошибок косвенных измерений. Простейший метод анализа ошибок косвенных измерений связан с применением полного дифференциала функции нескольких переменных.
Предположим, что уравнение измерения величины z зависит от результатов прямых или косвенных измерений величин х и у
z = f(x, у)

и известны оценки для максимальных абсолютных погрешностей δx и δу. При достаточно малых значениях δх и δу максимальная абсолютная погрешность измеряемой величины δz вычисляется по формуле
Сведения из теории погрешностей измерений

Формула (4,4) может быть обобщена на большее число переменных. При анализе максимальных погрешностей различных арифметических операций полезно, наряду с максимальной абсолютной, учитывать и максимальную относительную погрешности. Рассмотрим в качестве примеров операции умножения и деления. При z = ху (х > 0, у > 0) имеем δz = уδx + хδу. Разделив обе части на z = ху, получим для относительных погрешностей правило сложения δz/z = δx/x + δу/у. Учитывая малость значений Sx и 5у, можно записать аналогичную формулу при z = х/у: δz/z = δх/х - δу/у.
Для операций сложения и вычитания аналогичные правила справедливы при максимальных абсолютных погрешностях.
Отметим, что использование полного дифференциала при анализе ошибок допустимо, если предположить минимальные погрешности измерения аргументов функции f в уравнении (4.2). Однако такое предположение справедливо не во всех случаях. Максимально возможная погрешность прямого измерения может быть сравнима со значением измеряемой величины. Применение полного дифференциала в такой ситуации может привести к нереальным результатам.