» » Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом


Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

07.08.2016

Формирование модели перераспределения энергии в ненарушенном массиве

В истории науки второй закон термодинамики сыграл выдающуюся роль, далеко выходящую за рамки явлений, для объяснения сущности которых он был предназначен. Этот факт подтверждается работами Л. Больцмана в области кинетической теории, квантовой теорией М. Планка и теорией спонтанной эмиссии А. Эйнштейна, в основе которых лежит второй закон термодинамики.
Термодинамическое равновесие по И. Пригожину можно охарактеризовать минимумом свободной энергии, которое записываемой в виде
F = E-TS,

где E - внутренняя энергия системы; T - абсолютная температура; S - энтропия.
Чтобы описать термодинамику сложных структур, соответствующих минеральному веществу, необходимо показать, что неравновесие может быть причиной последующего равновесия - порядка. Появление существенно новых теоретических представлений при рассмотрении микромира элементарных частиц или мегамира космического масштаба не вызывает удивления уже с начала прошлого века. В ходе наших работ, с учетом законов термодинамики, приходим к новым теоретическим построениям и для явлений, наблюдаемых на масштабе мегауровня. Данная возможность открывается благодаря возможности формулировки теоретических подходов, с применением которых время описывается реальным смыслом, связанным с необратимостью или даже с «историей» процесса, а не является просто геометрическим параметром, характеризующим движение.
Обратимые процессы принципиально отличаются от необратимых, и это различие - суть второго закона термодинамики. Именно это различие с приводит к введению понятия энтропии S в формулировке второго закона термодинамики dS ≥ 0: энтропия изолированной системы при любых проходящих в ней процессах не может убывать, так как однозначно определяет условия установления механического и термического равновесия в рассматриваемой системе. Классическая формулировка этого закона, данная еще Р. Клаузиусом, относилась к изолированным средам, т.е. к системам, не обменивающимся с внешней средой ни энергией, ни веществом. В такой формулировке второй закон термодинамики лишь устанавливает существование функции S, монотонно возрастающей и достигающей максимума, когда система достигает термодинамического баланса
dS/dT ≥ 0.

Это уравнение может распространяться на системы, обменивающиеся с внешней средой энергией и веществом. В этом случае изменение энтропии dS следует рассматривать как сумму двух слагаемых: первое из них, deS, учитывает перенос из окружающей ее энтропии через границы системы, и второе, diS, -это количество энтропии, производимое внутри системы, для краткости называемое просто производством энтропии. Согласно второму закону, производство энтропии внутри системы - всегда величина положительная, либо равная нулю diS ≥ 0, а для необратимых процессов diS ≥ 0. Изменение общей энтропии dS состоит из потока энтропии deS, возникающего за счет взаимодействия системы с внешней средой, и производства энтропии diS, вызываемого изменениями внутри системы (рис. 3.2, а)
dS = deS + diS.

Согласно второму закону, неодинаковые значения какого-либо из факторов интенсивности (напряжение, температура, плотность, намагниченность и др.) в различных частях системы обусловливают возникновение необратимого самопроизвольного термодинамического процесса, приводящего к их выравниванию и установлению соответствующего механического, термического, плотностного и других видов равновесия. Движущей силой процесса является разность составляющих компонент энергии: напряжения, температуры, объемной плотности или других факторов интенсивности, которые не зависят от массы системы. Направления протекания этих процессов обусловлены направлениями действия внешней энтропии deS на открытую систему, представленную минеральным веществом земной коры, которые действуют в вертикальной плоскости (рис. 3.2, б).
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Неравенство объемной плотности потенциальной энергии в термодинамической системе является причиной самопроизвольного процесса, обеспечивающего ее перераспределение и установление в массиве термодинамического баланса. Отличительной особенностью любого необратимого процесса является возрастание энтропии - функции состояния, характеризующей направление протекания самопроизвольных процессов в термодинамической системе, не обменивающейся массой с внешней средой. В соответствии с законом возрастания энтропии при достижении состояния равновесия энтропия системы становится максимальной.
Для окружности внешних напряжений изменение энтропии от действия внешних сил будет удовлетворять условию
deS = Sе(х) - Se(z) ≥ 0.

При этом энтропия в вертикальной и горизонтальной плоскостях имеет вид (см. рис. 3.2, в)
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

где δWσ - бесконечное малое количество энергии.
Поток потенциальной энергии может переходить только из области действия напряжения σz, где объемная плотность энергии выше, в область действия напряжения σх, где объемная плотность энергии ниже. В обратном направлении течение самопроизвольного процесса невозможно, так как это противоречит второму закону термодинамики (deS не может быть ≤ 0). То есть основным внешним источником энергии является сила гравитации, которая направлена по нормали к центру Земли и описывается законом всемирного тяготения. Отличительной особенностью гравитационного поля является то, что на помещенную в него материальную систему действует сила тяготения, прямо пропорциональная массе этой системы. В соответствии с первым законом термодинамики, законом сохранения энергии, площадь эллипса с неравномерной объемной плотностью потенциальной энергии Sэл = пab, (где a = σz и b = σx), равной площади круга Sкр = пR2e, в пределах которого энергия распределена равномерно. Радиус круга равен величине напряжения, удовлетворяющему условию баланса в системе
Re = σzλ0,5.

Приращения вертикального и горизонтального напряжений составляют (табл. 3.2)
Δσz = σz - Re = σz(1-λ0,5);
Δσх = Re - σx = σz(λ0,5-1).

Соотношение Δσz/Δσx ≥ 1, при 0 ≤ λ ≤ 1 (табл. 3.2).
Сумма приращений внешних напряжений имеет вид
Δσz + Δσx = σz + σx.

Это говорит о том, что в системе перераспределяется только часть потенциальной энергии, создаваемая за счет разности внешних напряжений (рис. 3.3)
ΔWσ = 0,5E-1 (σ2z-σ2x).

Распространение энтропии в открытой системе, обменивающейся с внешней средой энергией и веществом, может протекать в любых произвольных направлениях. Обмен энтропией в системе, представленной минеральной средой в виде горных пород, протекает во взаимно перпендикулярных направлениях, соответствующих вертикальным и горизонтальным энергетическим потокам, действующим в горных породах Приднепровского геоблока прочностью до 140 МПа на глубинах до 1500 м (табл. 3.2).
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Установление самопроизвольного энергетического баланса приводит к перераспределению энтропии внутри элементарной термодинамической системы, представленной массивом горных пород. Так при вертикальном давлении 50 МПа на глубине 1500 м в массиве перераспределяется только часть потенциальной энергии, создаваемой за счет разности внешних напряжений, объем которой составляет для горизонтальных напряжений 50, а вертикальных - 45%, в соответствии с квадратичными зависимостями рис. 3.3.
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Перераспределение потенциальной энергии в термодинамической системе

Термодинамические потенциалы поддерживают извне значения температуры и объема любой открытой системы. В таких условиях система эволюционирует к состоянию баланса, характеризуемому наличием термодинамического потенциала. Состояние баланса является целью преобразования для неравновесных состояний систем, что верно было замечено еще М. Планком.
Для расширения области применимости термодинамики настолько, чтобы ее можно было использовать и при анализе неравновесных процессов, нам нужна точная формула, позволяющая вычислять производство энтропии. Прогресс в этом направлении был достигнут, когда было принято допущение, согласно которому и вне равновесия системы S зависит только от тех же переменных, от которых она зависит, когда система находится в состоянии баланса - допущение о существовании интегрированного баланса. Приняв это допущение, получаем выражение для P - производства энтропии системой в единицу времени
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

где Jp - скорости различных протекающих в рассматриваемой системе необратимых процессов (энтропии, тепловых потоков, химических реакций), a Xp - соответствующие обобщенные силы (градиенты напряжения, температуры, химического и геостатического потенциалов). Уравнение (3.1) - это основное выражение термодинамики необратимых процессов макроскопических систем.
Когда система находится в состоянии термодинамического баланса, для всех протекающих в ней обратимых процессов Jp = 0 и Xp = 0. Поэтому вполне естественно допустить, что вблизи состояния баланса имеют место линейные однородные соотношения между потоками энергии и вызывающими их силами (напряжениями).
Взаимодействие с внешней средой вызывает изменения внутри системы (рис. 3.4, б). Внешние напряжения взаимодействуют с внутренними, удерживающими смежные частицы в узлах кристаллической решетки на соответствующих равновесных расстояниях. Внутренние напряжения для твердого тела, находящегося в свободном состоянии и равны пределу упругости σуп.
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

При внешнем силовом воздействии на элементарный объем породы возникает положительная разность внутренних остаточных напряжений в горизонтальной и вертикальной плоскостях
(σуп - σх ) ≥ (σуп - σz ); (σуп - σх) - (σуп - σz) ≥ 0.

Объемная плотность потенциальной энергии от действия остаточных внутренних напряжении в двух частях системы неодинакова Wσz/Wσx ≤ 1:
Wσz = 0,5(σуп - σyz)2Е-1; Wσx = 0,5(σуп - σх)2Е-1.

Изменения энтропии внутри системы при протекании самопроизвольного необратимого процесса, приводящего к выравниванию напряжений и равномерному распределению потенциальной энергии dSi = S2(i) - S1(i), описывается формулой
dSi = δWσ [(σуп - σz)-1 - (σуп - σx)-1] ≥ 0.

Внутри системы возникает потоки энергии из областей с более высокой плотностью в области более низкой, т.е. из горизонтальной плоскости в вертикальную. Если коэффициент остаточной упругости обозначить
λуп.о = (σуп - σz)(σуп - σх)-1,

то коэффициент, характеризующий степень изменения пластических свойств системы, будет равен
λп = 1-λуп.о.

Радиус круга внутренних напряжений, соответствующий механическому балансу системы и имеет вид (см. рис. 3.4, б), м
Ri = (σуп - σх)λуп.о 0,5.

При внутреннем напряжении Ri образование энтропии обращается в 0, а энтропия системы достигает максимального значения.
Приращения напряжений внутри системы соответствуют (табл. 3.3), МПа
Δσz(y) = Ri - (σуп - σх); Δσх(у) = (σуп - σх) - Ri.

Сумма приращений будет иметь вид, МПа
Δσz(y) + Δσx(y) = σz - σx

а отношение вертикальных к горизонтальным напряжениям будет меньше 1
Δσz(y)/Δσx(y) ≤ 1,
при 0 ≤ λуп.о ≤1.

Фактические внешние напряжения, действующие на термодинамическую систему, равны по абсолютному значению σzф = σхф (табл. 3.3), МПа
σzф = σz - Δσz(y); σхф = σх + Δσх(у).

Связанные с деформациями упругие напряжения являются потенциальными, поскольку работа, которую они могут выполнить, зависит от величины обратимой деформации, возникающей при частичном или полном снятии внешней нагрузки. В результате приращений потенциальной энергии в горных породах Украинского кристаллического щита только ее часть участвует в процессах деформирования ΔWσ. Возрастание вертикального давления до 91 МПа на глубине до 3000 м приводит к перераспределению потенциальной энергии в массиве, которая составляет для вертикальных упругих потенциальных напряжений 57% и горизонтальных - 95% (табл. 3.3).
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Полученные квадратичные зависимости потенциальных напряжений, действующих в ненарушенном массиве горных пород Украинского кристаллического щита, представлены на рис. 3.5.
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Уравновешивание обратимых деформаций в термодинамической системе

Возникновение положительной разности остаточных напряжений в двух взаимно перпендикулярных частях системы ведет к приращению энтропии внутри системы и способствует протеканию равномерного распределения потенциальной энергии в системе. В таких условиях выполняется закон сохранения массы т = ρ0V0 = ρiVi = const: масса изолированной системы тел не изменяется при любых происходящих в ней процессах, где ρ0 и ρi - исходная и измененная плотности, Vo и Vi -исходный и измененный объемы тела. Применительно к минеральной среде горных пород возможно определить значение изотермического коэффициента уплотнения вещества на искомой глубине Ky = V0Vi-1 = ρiρ0-1. Основой для определения напряженно-деформированного состояния массива и объемной плотности потенциальной энергии в нем является закон Гука: σ = ε*E или σ = ΔV*K, описывающий взаимосвязь между напряжением σ и деформацией (ε - линейной, ΔV - объемной).
В соответствии с теорией Дюамеля-Неймана в ненарушенном массиве пород при наличии температурного поля происходит упругопластическое деформирование пород. Общая линейная деформация εo ребра кубика, в котором заключена термодинамическая система, состоит из упругой εуп и неупругой (пластической) εп составляющих, т.е. ε0 = εуп + εп. При этом упругие деформации определяются как
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Пластические деформации εz(n) = εo - εz(y); εx(n) = εy(n) = εo - εx(y) обусловлены повышением температуры горной породы в процессе деформирования термодинамической системы, что происходит с увеличением глубины и без активного воздействия тектонических напряжений. Вертикальная составляющая упругих деформаций, рассчитанная термодинамическим методом, по абсолютной величине меньше горизонтальной. Это подтверждено экспериментально более чем 30 тыс. непосредственных измерений методом разгрузки в различных частях земного шара.
Угол θ между главным нормальным напряжением и горизонтальной плоскостью и угол ψ - то же, но с вертикальной плоскостью показывают направление действия максимальных нормальных и минимальных касательных напряжений для ненарушенного массива горных пород. С приложением вертикальных и горизонтальных нагрузок к элементарному объему породы главные нормальные напряжения разделяют его область на взаимно перпендикулярные подобласти, углы которых в месте соприкосновения вершин определяются значениями 20 (см. рис. 3.4, в).
Угол θ, образованный между нормальным напряжением и горизонтальной плоскостью, будет равен, град
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

где ψ - угол между главным нормальным напряжением и вертикальной плоскостью, град
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Угол ψ, образован между главным нормальным напряжением, действующим в массиве горных пород, и вертикальной плоскостью. Значение tgψ является отношением вертикальных нагрузок Δσz(y) к горизонтальным Δσx(y) и позволяет определить главные напряжения, действующие в ненарушенном массиве горных пород (табл. 3.4). Обозначим
tgψ = Δσz(y)Δσx(y)-1 = λ,

тогда главные потенциальные напряжения будут иметь вид (табл. 3.3), МПа
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Упругие напряжения Δσz(y), Δσx(y) и Δσy(y), связанные с деформациями, являются потенциальными, поскольку работа, которую они могут выполнить, зависит только от величины обратимой деформации, возникающей при частичном или полном снятии внешней нагрузки.
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом

Полученные квадратичные зависимости главных напряжений, действующих в ненарушенном массиве горных пород Криворожского бассейна, представлены на рис. 3.6.
Значения упругих потенциальных напряжений в ненарушенном массиве σ1(у), σ2(y) и τmax которые выполняют работу по деформированию пород при нарушении начального равновесного состояния, используются для моделирования полей напряжений вокруг выработок, камер и выработанных пространств, а также в расчетах параметров конструктивных элементов систем разработки.
Моделирование состояния ненарушенного массива энтропийным методом